Podrías simplemente simplificar el summand como
[matemáticas] r ^ 4 + 6 r ^ 3 + 11 r ^ 2 + 6 r [/ matemáticas]
y suma cada uno de los términos individualmente. Dices que conoces la fórmula para sumas de cuadrados, cubos, etc., pero no para las cuartas potencias. Bueno, la misma técnica que funciona para poderes más pequeños también le da poderes cuarto y más altos; todas esas sumas son polinomios.
Primero determine el grado del polinomio. Puede hacerlo mediante el método de diferencias repetidas, que le indicará que necesita un polinomio de 5º grado.
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[matemáticas] S (n) = \ sum_ {r = 1} ^ {n} r ^ 4 = an ^ 5 + bn ^ 4 + cn ^ 3 + dn ^ 2 + en + f [/ matemáticas]
Si bien hay formas más elegantes de resolver los coeficientes (ver Foro de matemáticas – Pregúntele al Dr. Math) la fuerza bruta también funciona. Simplemente calcule seis valores diferentes de [matemáticas] S (n) [/ matemáticas] a mano y resuelva el sistema resultante de ecuaciones lineales. O podrías usar la fórmula de Faulhaber.
[matemáticas] \ sum_ {r = 1} ^ {n} r ^ 4 = (1/5) n ^ 5 + (1/2) n ^ 4 + (1/3) n ^ 3 – (1/30) n [/ matemáticas]
Póngalo junto con las fórmulas para las sumas de [matemáticas] r, r ^ 2, r ^ 3 [/ matemáticas], multiplique por los coeficientes apropiados de la fórmula anterior, simplifique y obtendrá un polinomio. Este método es tedioso pero no requiere hackear ninguna suma de coeficientes binomiales.
Sabemos que [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {n} {k \ elegir m} = {n + 1 \ elegir m + 1} [/ matemáticas] como una identidad binomial básica.
La suma que necesitamos para usar la sugerencia de John Calligy es
[matemáticas] \ sum_ {r = 1} ^ {n} {r + 3 \ elegir 4} = \ sum_ {r = 0} ^ {n + 3} {r \ elegir 4} = {n + 4 \ elegir 5 }[/matemáticas]
dado que todos los términos adicionales [matemática] {0 \ elegir 4}, {1 \ elegir 4}, {2 \ elegir 4} {3 \ elegir 4} [/ matemática] son cero.