¿Hay infinitos números (n) de modo que todos los coprimos menores que n sean números primos?

Answer 1

No, 30 es el último número.

Para probar esto, debemos ser conscientes de un hecho no trivial sobre los números primos. Es así, según el joven Paul Erdős:

“Chebyshev lo probó y yo lo probé de nuevo
Siempre hay un primo entre [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] 2n [/ matemáticas] “.

Esto se conoce más comúnmente como el postulado de Bertrand. Hay varias pruebas, algunas bastante elementales, pero ninguna trivial. No lo probaré aquí porque es tangencial al tema de la pregunta; una prueba se presenta en “Pruebas del libro” de Aigner y Ziegler.

Denotemos por [math] p_1, p_2, p_3, \ ldots [/ math] la secuencia de los números primos. Entonces [matemáticas] p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5 [/ matemáticas] y así sucesivamente.

Suponga que [math] n> 25 [/ math] es un número con la propiedad de que todos los números más pequeños que [math] n [/ math] y su primo son primos. Si [math] p [/ math] es un número primo que no divide [math] n [/ math], no podemos tener [math] p ^ 2 <n [/ math], ya que sería un número menor que [ matemática] n [/ matemática], coprime y compuesto. Dado que [math] n [/ math] es mayor que [math] 25 [/ math] esto significa que [math] n [/ math] debe ser divisible por [math] p_1, p_2 [/ math] y [math] p_3 [/ math] que son [math] 2, 3 [/ math] y [math] 5 [/ math]. En otras palabras, nuestra [matemática] n [/ matemática] es un múltiplo de [matemática] 30 [/ matemática].

El número [math] n [/ math] es divisible por [math] p_1, p_2, p_3 [/ math] y así sucesivamente hasta algunos [math] p_k [/ math], y no más. Entonces [math] p_ {k + 1} [/ math] no divide [math] n [/ math]. Ahora sabemos dos cosas:

1. [matemática] n [/ matemática] es al menos [matemática] p_1p_2 \ ldots p_k [/ matemática] (porque es divisible por esos números primos)
2. [math] n [/ math] no es mayor que [math] p_ {k + 1} ^ 2 [/ math] (debido a la condición coprime).

Si [math] k [/ math] es 4 o más, esas cosas son incompatibles: [math] p_ {k + 1} [/ math] está demasiado cerca de [math] p_k [/ math] para permitir que su cuadrado ser más grande que este producto de primos.

De hecho, [math] p_ {k + 1} <2p_k [/ math] por el postulado de Bertrand, entonces por 2, [math] n \ leq p_ {k + 1} ^ 2 <4p_k ^ 2 [/ math], pero por 1 tenemos [math] p_1p_2 \ ldots p_k \ leq n [/ math], entonces

[matemáticas] p_1p_2 \ ldots p_k <4p_k ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] p_1p_2 \ ldots p_ {k-1} <4p_k [/ matemáticas]

Pero esta desigualdad es falsa para [matemáticas] k = 4 [/ matemáticas] (dice que [matemáticas] 30 4 [/ matemáticas]: ahora [matemáticas ] p_1p_2 \ ldots p_ {k-2} [/ math] es al menos [math] 30 [/ math], por lo que la última desigualdad implica

[matemáticas] 30p_ {k-1} <4p_k [/ matemáticas]

[matemáticas] 7p_ {k-1} <p_k [/ matemáticas]

lo que contradice descaradamente el postulado de Bertrand nuevamente.

Entonces, nuestro número [math] n [/ math] es divisible por exactamente los primeros tres primos pero no por el cuarto, que es [math] 7 [/ math]. Por lo tanto, no puede ser mayor que [math] 49 [/ math] (o [math] 49 [/ math] será un coprime no primo más pequeño), pero también debe ser un múltiplo de [math] 30 [/ matemáticas], por lo que no es otro que [matemáticas] 30 [/ matemáticas] en sí. QED

Answer 2

La respuesta más corta tal vez es que no existe tal número, ya que todos los números son primos para [math] 1 [/ math] y [math] 1 [/ math] no es primo. Pero incluso Alon Amit estaba gentilmente asumiendo que pretendías excluir [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

Quiero dar un enfoque mucho menos analítico probando algunos supuestos sobre tales números [math] n [/ math]. [matemática] n [/ matemática] no puede ser primo, ya que todos los números m

De hecho, no podemos dejar una brecha en los números primos en la factorización de ese número n, al menos no en los números primos más bajos. Suponga que n es impar, entonces [math] 2 [/ math] es, por supuesto, coprime, lo cual está bien, ya que [math] 2 [/ math] es primo, pero [math] 4 [/ math] entonces, por supuesto, también es coprime a [math] n [/ math], pero no primo.

En este momento ya debería tener la sensación de postular que la conjetura muestra su falta de una buena intuición acerca de los números primos y coprimos.

Continuaré estimando el intervalo de números de los que hablamos. Ya habiendo establecido la idea, necesitarás construir [matemáticas] n [/ matemáticas] multiplicando números primos consecutivos, ya que omitir cualquier [matemáticas] p [/ matemáticas] más bajo en la factorización de [matemáticas] n [/ matemáticas ] hace que [math] p ^ 2 [/ math] sea un coprime no primo dentro del intervalo hasta n. En este punto, podría volver a la prueba analítica, pero sigamos mostrando cuán grandes se vuelven los intervalos y cuán fácilmente es un nivel bajo [matemático] p ^ 2 [/ matemático] dentro de ese intervalo.

Para poner en marcha su imaginación, simplemente hago un ejemplo de n como el producto de todos los números primos por debajo de 100, que significa [matemáticas] 2 \ cdot3 \ cdot5 \ cdot7 \ cdot11 \ cdot \ ldots \ cdot97 = 2305567963945518424753102147331756070 [/ matemáticas]. Para abreviar, se trata de [matemáticas] 2.3 \ cdot10 ^ {36} [/ matemáticas].

Ahora observe que todos los números m debajo de [math] 97 [/ math] no corren el riesgo de ser primos, pero no primos, pero todos los números [math] m> 97 [/ math] son ​​riesgosos, definamos ese término aquí.

Ahora eche un vistazo al tamaño del intervalo de números “riesgosos” de 97 a [matemática] 2.3 \ cdot10 ^ {36} [/ matemática]. Es tan grande que incluso el cuadrado del próximo número primo, [matemáticas] 101 ^ 2 = 10201 [/ matemáticas], que es aproximadamente [matemáticas] 10 ^ 4 [/ matemáticas] todavía está en el extremo izquierdo y bajo de ese intervalo . Para deshacerse de ese coprime, necesitaría multiplicar n por [math] 101 [/ math], lo que elimina [math] 10201 [/ math] de la lista de coprimes pero, por lo tanto, extiende ese intervalo por otro factor de [ matemáticas] 101. [/ matemáticas]

El simple hecho de observar la baja probabilidad de no tener nunca un coprimo no primo en n en estos intervalos extremadamente largos es decirle que tal conjetura no se mantiene fuerte y podría ser fácilmente refutada. Solo necesita un contraejemplo de un primo que no sea un factor primo de n pero sea lo suficientemente bajo, por lo que su cuadrado aún es más pequeño que n, y eso es fácil de ver en las meras magnitudes de n como producto de primos bajos consecutivos. Solo empeora con n aún mayor.

Es muy probable que la conjetura solo funcione para un pequeño número de números pequeños y así es realmente.

Answer 3

Supongamos que tenemos un número “grande” [matemático] n [/ matemático] tal que [matemático] \ gcd (n, q) = 1 [/ matemático] implica [matemático] q

Esto significa que [math] n [/ math] debe ser un “casi primitivo”. (Un primorial es un producto de los primeros K primos). Cada número primo menor que [math] \ sqrt {n} [/ math] debe ser un factor de [math] n [/ math], con a lo sumo una excepción, ya que cada producto de dos primos menor que [math] \ sqrt {n} [/ math] también es menor que [math] n [/ math].

Si [math] n [/ math] es un primorial, o un múltiplo de un primorial, la desigualdad de Bonse dice que para [math] k \ geq 4 [/ math],

[matemáticas] p_1p_2 \ cdots p_k> p_ {k + 1} ^ 2 [/ matemáticas]

Es decir, el cuadrado del siguiente primo en secuencia es menor que el primorial, y por lo tanto menor que [math] n [/ math]. Pero luego [math] \ gcd (n, p_ {k + 1} ^ 2) = 1 [/ math], violando nuestra condición deseada.

Del mismo modo, si [math] n [/ math] es casi primitivo y le falta un factor [math] p_i <\ sqrt {n} [/ math], entonces [math] \ gcd (n, p_i ^ 2) = 1 [/ math] y [math] p_i ^ 2

Por lo tanto, los únicos valores de [matemática] n [/ matemática] para los cuales la condición es verdadera son estrictamente menores que 210 = 2 * 3 * 5 * 7. Podemos llegar a un límite más estricto sin demasiado trabajo— [matemática] n [/ math] también tiene que ser menor que 49, o bien un múltiplo de 7. Entonces, 30 es el último número: tenemos que incluir 2, 3 y 5 como factores o de lo contrario n es coprimo con 4, 9, o 25. Pero agregar otro factor de 2 nos lleva por encima de 49.

30 es coprimo con 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29, todos los cuales (excepto 1) son primos.