Parece haber un error en la pregunta. La suma de distancias no es igual a N:
Para n = 3, los dos puntos son:
[matemáticas] e ^ {2 \ pi i / 3} \ aprox -0.5 + 0.866025i [/ matemáticas]
y su conjugado Pero la distancia de ambos puntos a [matemáticas] 1 + 0i [/ matemáticas] es
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- Cómo demostrar que [matemáticas] 2 ^ {n-1} [/ matemáticas] no es un múltiplo de [matemáticas] n [/ matemáticas] para [matemáticas] n> 1 [/ matemáticas]
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- ¿Cuál es el número primo n (500> n> 10) cuyo factorial menos 1 también es un número primo? Sugerencia: tiene 93 nueves al final.
[matemáticas] \ sqrt {(- 0.5-1) ^ 2 + (0.866026-0) ^ 2} \ aprox 1.73 [/ matemáticas]
(Es decir, la norma de la raíz especificada menos 1.)
n = 4 es aún más fácil, los tres puntos están a distancia [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática], [matemática] 2 [/ matemática] y [matemática] \ sqrt {2}. [/ matemática]
Sin embargo, el producto de estas distancias es igual a n. Y eso se prueba fácilmente ya que el producto de las normas es la norma del producto:
[matemáticas] \ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} \ | e ^ {2 \ pi ik / n} – 1 \ | = \ left \ | \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} (e ^ {2 \ pi ik / n} – 1) \ right \ | [/ math]
Deje [math] \ omega_k = e ^ {2 \ pi ik / n} [/ math]. Debido a que estas son raíces de unidad distintas de 1, estas son las raíces de la ecuación
[matemáticas] z ^ {n-1} + z ^ {n-2} +… + z + 1 = 0 [/ matemáticas]
Entonces, [math] (\ omega_k – 1) [/ math] es una raíz de
[matemáticas] (z + 1) ^ {n-1} + (z + 1) ^ {n-2} +… + (z + 1) + 1 = 0 [/ matemáticas]
para todos [matemáticas] k [/ matemáticas]. El producto de las raíces de este polinomio (que es, por lo tanto, el producto que estamos tratando de calcular), es por las fórmulas de Vieta iguales a
[matemáticas] (- 1) ^ {n-1} \ frac {a_0} {a_n} [/ matemáticas]
Donde [math] a_0 [/ math] es el coeficiente en el término constante, y [math] a_n [/ math] es el coeficiente en el término inicial. Pero el coeficiente del término principal es 1, y el término constante es la suma de [math] n [/ math] 1’s. Por lo tanto, el producto que queremos es [matemática] (- 1) ^ {n-1} n [/ matemática], y su norma es [matemática] n [/ matemática].