¿Es un conjunto vacío un elemento de cada conjunto?

Answer 1

A2A

Es muy importante entender que hoy en día la teoría de conjuntos es una teoría de orden de puño de un solo orden que expresa algo solo sobre conjuntos.

Los conjuntos generalmente se escriben explícitamente de la siguiente manera: [math] \ {a_1, a_2, \ ldots \} [/ math] – entre llaves con algo (otros conjuntos) dentro. Esos conjuntos dentro se llaman elementos. Hay exactamente un conjunto que no contiene ningún elemento: [math] \ {\} [/ math] – el conjunto vacío.

Y esos conjuntos pueden tener dos nociones diferentes en la teoría de conjuntos. [Por supuesto, hay muchos otros, pero ahora solo necesitaremos dos. Tenga en cuenta que esta es una explicación muy simplificada.]

1. [matemáticas] A \ en B [/ matemáticas] – [matemáticas] A [/ matemáticas] es un elemento de [matemáticas] B [/ matemáticas]. Esto significa que mirando dentro de los corchetes indicando explícitamente qué [matemática] B [/ matemática] podemos encontrar entre los objetos en el conjunto [matemática] A [/ matemática]. El conjunto vacío es el conjunto como cualquier otro (excepto por el hecho de que está vacío), por lo que puede ser (o no) un elemento de otro conjunto. Esto se escribirá explícitamente de la siguiente manera: [math] \ {\ ldots, \ {\}, \ ldots \} [/ math].
2. [math] A \ subseteq B [/ math] – [math] A [/ math] está incluido en [math] B [/ math]. Ahora miramos primero dentro de los corchetes del conjunto [math] A [/ math] y encontramos todos sus elementos. Luego miramos dentro de los corchetes del conjunto [math] B [/ math] e intentamos encontrar todos los elementos de [math] A [/ math]. Si todos los elementos de [matemática] A [/ matemática] son ​​los elementos de [matemática] B [/ matemática], podemos decir que [matemática] A \ subseteq B [/ matemática] – [matemática] A [/ matemática] es incluido en [matemáticas] B [/ matemáticas]. Esto significa que el conjunto vacío se incluye en cualquier otro conjunto simplemente porque no tiene ningún elemento.

Ahora un ejemplo.

Un conjunto puede ser simultáneamente un elemento de otro conjunto e incluirse en él. Por ejemplo: [matemáticas] \ {\} \ subseteq \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} [/ matemáticas] porque el conjunto vacío está incluido en todos los conjuntos y [matemáticas] \ {\} \ en \ {\ {\}, \ {\ {\ {\} \} \} \} [/ math] porque el conjunto vacío se encuentra entre los elementos del conjunto [math] \ {\ {\}, \ {\ {\{\}\}\}\}[/matemáticas]. El conjunto [matemáticas] \ {\ {\} \} [/ matemáticas], sin embargo, no está dentro del conjunto [matemáticas] \ {\ {\}, \ {\ {\ {\} \} \} \} [ / math] y por lo tanto no es un elemento del mismo . Por otro lado, dado que su único elemento es el conjunto vacío que está dentro del conjunto [math] \ {\ {\}, \ {\ {\ {\} \} \} \} [/ math], está incluido en el

Espero que ayude.

Answer 2

el conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto, no es un elemento de cada conjunto y no es un elemento de [math] \ {0 \} [/ math].

Dado un conjunto A

[math] \ emptyset \ subseteq A [/ math] es verdadero

[math] \ emptyset \ en A [/ math] no siempre es cierto

[math] \ emptyset \ in \ {0 \} [/ math] es falso

Answer 3

Probablemente hay muchas maneras de convencerse de que este es el caso.

1. El conjunto A es un subconjunto del conjunto B si y solo si cada elemento de A es también un elemento de B. Si A es el conjunto vacío, entonces A no tiene elementos y todos sus elementos (no hay ninguno) pertenecen a B no importa con qué conjunto B estamos tratando. Es decir, el conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto.
2. Otra forma de entenderlo es mirar las intersecciones. La intersección de dos conjuntos es un subconjunto de cada uno de los conjuntos originales. Entonces, si {} es el conjunto vacío y A es cualquier conjunto, entonces {} se cruza con A es {}, lo que significa que {} es un subconjunto de A y {} es un subconjunto de {}.
3. Puedes probarlo por contradicción. Digamos que tiene el conjunto vacío {} y un conjunto A. Según la definición, {} es un subconjunto de A a menos que haya algún elemento en {} que no esté en A. Entonces, si {} no es un subconjunto de A entonces hay un elemento en {}. Pero {} no tiene elementos y, por lo tanto, esto es una contradicción, por lo que el conjunto {} debe ser un subconjunto de A.

Un ejemplo con un conjunto vacío y un conjunto no vacío podría ser este: el (conjunto de todas las mujeres que han caminado sobre la luna) y el (conjunto de todos los astronautas). Examine los tres argumentos anteriores con este ejemplo en mente.

Answer 4

Solo tengo interés en las matemáticas

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No creo que el conjunto vacío pueda clasificarse como un elemento de un conjunto porque eso sería tener un conjunto sin elementos como elemento de un conjunto que realmente no tiene sentido lógico. Sin embargo, el conjunto vacío es, por definición, un subconjunto de todos los conjuntos. Un conjunto es un subconjunto de otro si todos los elementos en el primero están en el segundo conjunto. Por lo tanto, dado que todos los elementos del conjunto vacío (ninguno) están en el segundo conjunto, el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto (incluso un subconjunto de sí mismo).

Answer 5

No, el conjunto vacío [math] \ emptyset [/ math] es un subconjunto de cada conjunto, y todos los conjuntos vacíos son iguales.

Si [math] S [/ math] es un conjunto, entonces existe un conjunto [math] E \ subconjunto S [/ math] tal que para todos [math] x [/ math], [math] x \ en E \ iff x \ en S \ land x \ notin S [/ math]. Entonces se puede demostrar que, para todas [matemáticas] x [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] x \ notin E [/ matemáticas]. La prueba es trivial.

También se puede demostrar que si, para todos [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] x \ notin E [/ matemáticas] y [matemáticas] x \ notin E ‘[/ matemáticas], podemos probar (vacías) que [matemáticas] E = E ‘[/ matemáticas]. Entonces, solo hay un conjunto vacío.

Answer 6

El conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto.

Hay dos puntos en mi oración. En primer lugar, que el conjunto vacío es único. En segundo lugar, que está contenido en cada conjunto como un subconjunto. Ahora explicaré ambas ideas.

En realidad, es más fácil si empiezo con la segunda idea. Un conjunto [matemático] X [/ matemático] está contenido en un conjunto [matemático] Y [/ matemático] (escrito “[matemático] X \ subconjunto Y [/ matemático]”) si y solo si cada elemento de [matemático] X [/ math] también es un elemento de [math] Y [/ math].

Entonces, suponga que un conjunto [matemático] E [/ matemático] está vacío, y [matemático] X [/ matemático] es cualquier conjunto. Entonces, preguntamos, ¿cada elemento de [matemáticas] E [/ matemáticas] es un elemento de [matemáticas] X [/ matemáticas]?

La respuesta, por supuesto, es sí. Dado cualquier elemento particular [matemática] e [/ matemática] de [matemática] E [/ matemática] (escribimos “[matemática] e \ en E [/ matemática]”), tenemos [matemática] e \ en X [/ matemática] (es decir, sobre el conjunto de todos esos elementos, no existe un contraejemplo para el reclamo).

Entonces, hemos demostrado que cualquier conjunto vacío es un subconjunto de cualquier otro conjunto, ya que [math] E [/ math] era un conjunto vacío arbitrario y [math] X [/ math] era un conjunto arbitrario.

A continuación, argumentamos que solo hay un conjunto vacío. Recuerde que decimos que los conjuntos [math] X [/ math] y [math] Y [/ math] son ​​iguales si y solo si [math] X \ subset Y [/ math] y [math] Y \ subset X [/ matemáticas] son ​​ciertas.

Ahora, suponga que [matemática] E [/ matemática] y [matemática] F [/ matemática] son ​​conjuntos vacíos. Según nuestra discusión anterior, sabemos que tanto [math] E \ subset F [/ math] como [math] F \ subset E [/ math] son ​​verdaderas. Por lo tanto, todos los conjuntos vacíos son iguales, por lo que solo hay uno de ellos, que tradicionalmente se denota con el símbolo [math] \ emptyset. [/ Math]

Más al punto de su pregunta original: observe que el conjunto vacío NO es un elemento en el conjunto vacío. Es decir, el conjunto vacío no tiene elementos, por definición.

Answer 7

El conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto. Esto se debe a que cada elemento del conjunto vacío también está en el conjunto A. Por supuesto, no hay elementos en el conjunto vacío, pero cada uno de esos elementos cero está en A.

El conjunto vacío no es un elemento de cada conjunto. Puede ser un elemento de algunos conjuntos; por ejemplo, el conjunto [math] {1,2, \ {\}, 5} [/ math] tiene el conjunto vacío como uno de sus elementos. Sin embargo, el conjunto [math] {1,2,3,5} [/ math] no contiene el conjunto vacío como elemento.

En particular, el conjunto vacío no es un elemento en sí mismo, por la simple razón de que el conjunto vacío no tiene elementos en absoluto.

Answer 8

No, el conjunto vacío ∅ puede no ser un elemento de un conjunto. Por ejemplo, por {0} contiene solo el elemento cero 0. Sin embargo, un conjunto puede tener el conjunto vacío como elemento. Por ejemplo, un conjunto de potencia de cualquier conjunto tiene el conjunto vacío como elemento. De hecho, es lógicamente cierto que

“si x ∈ ∅, entonces x ∈ A”,

con A siendo cualquier conjunto, porque una declaración condicional con antecedente falso siempre es verdadera. Esto significa, [matemáticas] ∅ [/ matemáticas] [matemáticas] ⊆ [/ matemáticas] [matemáticas] A. Por lo tanto, el conjunto de potencia $ 2 ^ A $ tiene [/ math] [math] ∅ [/ math] como elemento.

Observe que $ 2 ^ ∅ = {∅} $ que no está vacío; Contiene ∅ como elemento.