¿Puedes probar, [matemáticas] 1 + 2 + 3 + \ cdots + n = \ frac {n (n + 1)} 2 [/ matemáticas] con [matemáticas] n [/ matemáticas] como un entero?

¡Puede probar por inducción como ya lo ha hecho Ana Echavarría! pero voy a abordar esta pregunta de una manera alternativa y al usar este método podrás encontrar la suma de muchas series como se menciona a continuación.

  1. [matemáticas] 1 + 2 + 3 + 4 + ……. + n [/ matemáticas]
  2. [matemáticas] 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + ……. + n ^ {2} [/ matemáticas]
  3. [matemáticas] 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3} + ……. + n ^ {3} [/ matemáticas]
  4. [matemáticas] 1 ^ {4} + 2 ^ {4} + 3 ^ {4} + 4 ^ {4} + ……. + n ^ {4} [/ matemáticas]

y así…
así que pasemos a la solución

[matemáticas] 1 + 2 + 3 + 4 + ……. + n [/ matemáticas]

sabemos, [matemáticas] k ^ {2} – (k-1) ^ {2} = 2k-1 [/ matemáticas]

tome la suma de ambos lados.

[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} – \ sum_ {k = 1} ^ {n} (k-1) ^ {2} = 2 \ sum_ {k = 1} ^ {n} k- \ sum_ {k = 1} ^ {n} 1 [/ matemáticas]

= [matemáticas] 1 ^ {2} -0 ^ {2} = 2 (1) -1… .. (k = 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {2} -1 ^ {2} = 2 (2) -1…. (k = 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ {2} -2 ^ {2} = 2 (3) -1…. (k = 3) [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ {2} -3 ^ {2} = 2 (4) -1…. (k = 4) [/ matemáticas]

…………………………….

…………………………….

[matemáticas] n ^ {2} – (n-1) ^ {2} = 2 (n) -1…. (k = n) [/ matemáticas]

____________________________

[matemáticas] = n ^ {2} -0 ^ {2} = 2 (1 + 2 + 3 + 4 ……. + n) -n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ boxed {\ Rightarrow 1 + 2 + 3 + 4 + ……. + n = \ frac {n ^ {2} + n} {2} = \ frac {n (n + 1)} {2} }[/matemáticas]

para [matemáticas] 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + ……. + n ^ {2} [/ matemáticas]

use [matemáticas] k ^ {3} – (k-1) ^ {3} = 3k ^ {2} -3k + 1 [/ matemáticas]

y luego tomar resumen …

La serie anterior se puede probar de muchas maneras. Una de las formas en que se puede probar es:

Deje, [matemáticas] \ displaystyle \ S = 1 + 2 + 3 + 4 +… + n [/ matemáticas]

Podemos expresarlo como:

[matemáticas] \ displaystyle \ S = 1 + 2x + 3x ^ 2 + 4x ^ 3 +… + nx ^ n-1 (1) [/ matemáticas]

donde [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]

Para obtener la serie (1) necesitamos diferenciar las series (2):

[matemáticas] \ displaystyle \ S = x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 +… + x ^ n (2) [/ matemáticas]

Podemos ver que forma una progresión geométrica cuya diferencia común es mayor que 1.

Por lo tanto, después de aplicar la fórmula obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ S = \ frac {x (x ^ n-1)} {x-1} [/ matemáticas] [matemáticas] (3) [/ matemáticas]

Al diferenciar (3) obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {(x ^ n- (nx-n-1) +1)} {(x-1) ^ 2} [/ matemáticas]

Ahora solo necesitamos poner 1 en lugar de x, pero al poner x = 1 obtenemos una forma indeterminada [matemática] \ displaystyle \ frac {0} {0} [/ matemática]. Entonces necesitamos aplicar límites.

Por lo tanto,

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ a 1} \ frac {(x ^ n- (nx-n-1) +1)} {(x-1) ^ 2} [/ matemáticas]

Después de aplicar la regla de L’Hôpital :

Obtenemos :

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {(n ^ 2 (n + 1) -n ^ 2 (n-1) -n (n-1))} {2} [/ matemáticas]

que en una simplificación adicional obtiene:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, demostró que [math] S [/ math] = [math] \ displaystyle \ frac {n (n + 1)} {2} [/ math]

La forma estándar de probar esto es con la inducción matemática. Como otros han dado esa prueba, mostraré cómo un niño muy, muy inteligente lo descubrió.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), uno de los científicos y matemáticos más brillantes de todos los tiempos, resolvió este problema cuando tenía entre 8 y 10 años, según algunos de sus biógrafos.

Su maestro les dijo a los estudiantes que sumaran los números del 1 al 100. A Gauss se le ocurrió esta solución. Piense en la suma de los números del 1 al 100. Y luego escriba esta suma hacia adelante y hacia atrás. Luego agregue las columnas:

1 + 2 + 3… + 98 + 99 + 100

100 + 99 + 98 +… + 3 + 2 + 1

– – – – – –

101 + 101 + 101 +… + 101 + 101 + 101

Gauss obtuvo esta suma multiplicando 100 * 101 = 10100.

Como esta suma contaba cada número del 1 al 100 dos veces, dividió entre 2 para obtener 5050.

Si esta historia es precisa, en realidad lo hizo (¡de 8 a 10 años!) En su cabeza.

Es fácil generalizar esta fórmula para la suma de 1 a n:

[matemáticas] \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas].

T (n) = 1 + 2 + 3 +… + n = n (n + 1) / 2

La prueba usando álgebra!

Así es como un matemático podría escribir la prueba anterior usando álgebra:

T (n) + T (n) = 1 + 2 + 3 +… + (n-1) + n + n + (n-1) + (n-2) +… + 2 + 1 Dos copias, una roja y el otro, invertido, en verde

= (1 + n) + (2 + n-1) + (3 + n-2) +… + (n-1 + 2) + (n + 1) emparejan los términos, un rojo con un verde

= (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) +… + (n + 1) + (n + 1) Todas las n sumas de pares son iguales a (n + 1)

2 T (n) = n (n + 1)

T (n) = n (n + 1) / 2

Comprenda también las Reglas para agregar enteros

Aquí hay 2 casos:

1. n es par:

Podemos organizar esos números como:
1 + 2 + 3 +… .. + n / 2 +
n + (n-1) + …… .. + n / 2 + 1

Solo agrega los términos verticales. Todas esas sumas n / 2 serán n + 1.
Suma = n (n + 1) / 2

2. n es impar –

Aquí, n-1 es igual que en el caso 1,
1 + 2 + 3+… .. + (n-1) = (n-1) n / 2

Suma de n términos = n (n-1) / 2 + n
= n (n-1) + 2n / 2
= n (n-1 + 2) / 2
= n (n + 1) / 2

Espero eso ayude.

Hay dos formas de ver esto.

1 – El enfoque más formal

Puede probar el resultado mediante inducción.

Para n = 1, el resultado es trivial.

Si suponemos que el resultado es verdadero en k, tenemos:

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {k} = \ frac {k (k + 1)} {2} [/ matemáticas]

Agregando k + 1 al resultado, obtenemos:

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {k + 1} = \ frac {k (k + 1)} {2} + \ frac {2 (k + 1)} {2} [/ matemáticas]

Esto es equivalente a

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {k + 1} = \ frac {(k + 2) (k + 1)} {2} [/ matemáticas]

Y este es el resultado deseado.

2 – La respuesta más intuitiva es esta

Imagine rectángulos de dimensión 1 * n, con [\ math] n \ in \ {1,…, k \} [\ math], y colóquelos en una fila, en orden de tamaño (creciente).

El rectángulo 1 * 1 se coloca en el intervalo [matemáticas] \ [0; 1 \] \ 0; 1 [\] [/ matemáticas] y así sucesivamente.

Los rectángulos tienen respectivamente un área de n, con [\ math] n \ in \ {1, …, k \} [\ math]. Entonces, agregar las áreas de los rectángulos nos dará la suma deseada.

Si dibuja la ecuación y = x, se da cuenta de que el área de todos los rectángulos, que corresponde a la suma que queremos calcular, es cun en dos partes , una debajo de la línea y la otra arriba.

El área de la parte sobre la línea es la suma de k cuadrados unitarios divididos por dos. Eso es [matemáticas] \ frac {k} {2} [/ matemáticas]

El área debajo es la mitad del área de un cuadrado de longitud k, es decir [matemática] \ frac {k * k} {2} [/ matemática].

[matemáticas] \ frac {k * k} {2} + \ frac {k} {2} = \ frac {k (k + 1)} {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, cuando suma esas dos áreas, obtiene la suma deseada 🙂

Hay varias formas de probarlo, pero me gusta más la prueba por inducción.

Caso base: para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ ni = 1 = \ frac {1 \ cdot 2} {2} [/ matemáticas]

Hipótesis inductiva: Suponga que para [matemáticas] k \ geq 1 [/ matemáticas] tenemos que [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {k} i = \ frac {k (k + 1)} {2} [/ matemáticas]

Paso inductivo: demostremos que si la hipótesis inductiva es verdadera, el teorema es válido para [matemática] k + 1 [/ matemática], es decir [matemática] \ sum_ {i = 1} ^ {k + 1} i = \ frac {(k + 1) (k + 2)} {2} [/ matemáticas]

Lo sabemos

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {k + 1} i = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ {k} i \ right) + (k + 1) [/ math]

Usando nuestra hipótesis inductiva, tenemos

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {k + 1} i = \ frac {k (k + 1)} {2} + (k + 1) [/ matemáticas]

Esto es igual a

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {k + 1} i = \ frac {k (k + 1) + 2 (k + 1)} {2} [/ matemáticas]

Después de la factorización

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {k + 1} i = \ frac {(k + 1) (k + 2)} {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, hemos demostrado, por inducción, que para cada número entero [matemáticas] n \ geq 1 [/ matemáticas] es cierto que [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ ni = \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas]

Extremadamente fácil 🙂

Primero, escribimos la suma:

[matemáticas] S_n = 1 + 2 + 3 +… + (n-2) + (n-1) + n [/ matemáticas]

En segundo lugar, escribimos esta suma de manera inversa:

[matemáticas] S_n = n + (n-1) + (n-2) +… + 3 + 2 + 1 [/ matemáticas]

¡Vamos a sumar estas dos sumas!

[matemáticas] 2S_n = [1 + n] + [2+ (n-1)] + [3+ (n-2)] +… + [(n-2) +3] + [(n-1) + 2] + [n + 1] [/ matemáticas]

Como se puede ver, todos los sumandos son iguales a [math] n + 1. [/ Math]

Bueno, dado que tenemos [math] n [/ math] summands,

[matemáticas] 2S_n = n \ cdot (n + 1) [/ matemáticas]

Y finalmente,

[matemáticas] S_n = n \ cdot \ frac {(n + 1)} {2} [/ matemáticas]

Algunos historiadores dicen que Gauss, de 8 años, logró agregar [matemáticas] 1 + 2 + 3 + \ cdots + 100 [/ matemáticas] en un instante utilizando el siguiente argumento:

Añádelos como
[matemáticas] (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + \ cdots + (50 + 51) [/ matemáticas] en su lugar
[matemática] = 101 + 101 + 101 + \ cdots + 101 [/ matemática] ([matemática] 50 [/ matemática] veces)
[matemáticas] = 101 \ veces 50 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 5050. [/ matemáticas]

Podemos usar esta misma técnica en general. En lugar de agregar [matemáticas] 1 + 2 + 3 + \ cdots + n [/ matemáticas], agregamos

[matemáticas] (1 + n) + (2+ (n-1)) + (3+ (n-2)) + \ cdots [/ matemáticas]

en lugar. El problema aquí es que necesitamos atender cuando [math] n [/ math] es par y cuando [math] n [/ math] es impar por separado.

Si [math] n [/ math] es par, tenemos un caso similar al de Gauss:

[matemáticas] (1 + n) + (2+ (n-1)) + (3+ (n-2)) + \ cdots + (\ frac {n} {2} + (\ frac {n} {2} +1)) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + \ cdots + (n + 1) [/ matemáticas] ([matemáticas] \ frac {n} {2} [/ matemáticas] veces )
[matemáticas] = \ frac {n} {2} (n + 1), [/ matemáticas]

probando el resultado.

Si [math] n [/ math] es impar, entonces tenemos

[matemáticas] (1 + n) + (2+ (n-1)) + (3+ (n-2)) + \ cdots + (\ frac {n-1} {2} + \ frac {n + 3} {2}) + \ frac {n + 1} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + \ cdots + (n + 1) [/ matemáticas] ([matemáticas] \ frac {n-1} {2} [/ matemáticas ] veces) [matemáticas] + \ frac {n + 1} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = (n + 1) \ frac {(n-1)} {2} + \ frac {n + 1} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {n + 1} {2} (n-1 + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {n (n + 1)} {2}, [/ matemáticas]

probando el resultado.

Tenga en cuenta que este método no es la forma habitual o estándar de probar esto, pero funciona de todos modos.

Como n es el número de término, entonces n debe ser un entero positivo.

Método alternativo

Deje S = 1 + 2 + 3 + 4 +… + n

Como, la diferencia de los términos por pares de S es 1.

Entonces, la fórmula para la prórroga aritmética, tenemos S = (n / 2) (primer término + último término)

=> S = n (n + 1) / 2. (Demostrado)

Deje [math] S = \ sum_ {k = 1} ^ {n} k [/ math]. Entonces

S + S = [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} k + \ sum_ {k = 1} ^ {n} n-k + 1 [/ matemáticas]

2S = [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} k + n-k + 1 [/ matemáticas]

2S = [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} n + 1 [/ matemáticas]

2S = [matemáticas] n ([/ matemáticas] [matemáticas] n + 1) [/ matemáticas]

S = [matemáticas] \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas]

Considere una cuadrícula de bloques ( n +1) × ( n +1). Por un lado, tiene ( n +1) ² bloques. Por otro lado, la diagonal tiene bloques ( n +1), el número de bloques encima de la diagonal es 1 + 2 + … + n , y el número de bloques debajo de la diagonal también es 1 + 2 + … + n.
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Así, ( n +1) ² = ( n +1) + 2 (1 + 2 +… + n ).
Resolviendo por la suma deseada,
1 + 2 +… + n = (( n +1) ² – ( n +1)) / 2 = ( n ² + n ) / 2 = n ( n +1) / 2.

¿No fue el matemático Carl Gauss quien, como un preadolescente, sorprendió a su instructor de la escuela al hacer inmediatamente el resumen en su cabeza usando esta fórmula? El acosador instructor le había dado a la clase el resumen como un problema, con la esperanza de mantenerlos ocupados mientras él atendía otros asuntos. Y, por supuesto, se llega a la fórmula escribiendo (mentalmente) los dígitos en orden creciente en una primera fila, y luego en orden decreciente en una segunda fila alineada debajo de la primera, luego agregando cada dígito en la primera fila el dígito inmediatamente abajo en la segunda fila. Cada suma es n + 1, hay n tales sumaciones, por lo que el resultado inicial es n (n + 1), pero, por supuesto, este resultado para dos filas debe dividirse por 2 para obtener el resultado para una sola fila.

Como señala Natalia Nezvanova en los comentarios, la prueba estándar se puede encontrar en todas partes. Aquí hay una prueba divertida no estándar que se me ocurrió:

El rectángulo más grande es de dimensiones [matemáticas] n \ veces (n + 1) [/ matemáticas]. El patrón de color refleja [matemática] 1 + 2 +… + n [/ matemática]. Como verá, solo la mitad de las cuadrículas están coloreadas en cualquier momento.

En realidad, esto es bastante simple de probar mediante inducción. Es claramente cierto para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]. Ahora, supongamos que es cierto para [math] n [/ math]. Entonces

[matemáticas] 1 + 2 + 3 + \ cdots + n + (n + 1) = \ frac {n (n + 1)} {2} + (n + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {n (n + 1)} {2} + \ frac {2 (n + 1)} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {(n + 1) (n + 2)} {2} [/ matemáticas],

así que también es cierto para [math] n + 1 [/ math]. Como es verdadero para 1, y cada número para el que es verdadero implica que es cierto para el siguiente número, es cierto para todos los números 1 y mayores.

Esto se puede escribir como [matemáticas] S_n = 1 + 2 + 3 +. . . + (n-2) + (n-1) + n [/ matemáticas]

Observe que el primer y el último término se suman a [matemática] n + 1 [/ matemática] al igual que el segundo y segundo último término y el tercer y tercer último término y así sucesivamente.

Si [math] n [/ math] es un número par, entonces claramente habría [math] \ displaystyle \ frac {n} {2} [/ math] tales términos para que la suma se pueda escribir como

[matemáticas] \ displaystyle S_n = \ frac {n} {2} (n + 1) [/ matemáticas]

¿Qué sucede si [math] n [/ math] es impar? Bueno, entonces [math] (n-1) [/ math] estaría aún deduciendo [math] 1 [/ math] de [math] n [/ math] en la fórmula anterior daría [math] \ displaystyle S_ {n -1} = \ frac {n (n-1)} {2} [/ matemáticas]

Agregar [math] n [/ math] a esa suma daría [math] \ displaystyle S_n = \ frac {n (n-1)} {2} + n [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {n ^ 2-n + 2n} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {n ^ 2 + n} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas]

Esto se puede probar usando inducción.

La otra forma de probar esto es mediante el uso de la fórmula de suma de términos ‘n’ de un AP.

Esta serie es un AP con diferencia común 1, primer término 1 y último término es n,

Suma = número de términos × (1er término + último término) / 2

= n * (1 + n) / 2

De ahí el resultado.

Escriba la serie anterior en orden inverso y luego agregue ambos arreglos … U obtendrás tu respuesta