¿Existe algún algoritmo que pueda devolver una solución de forma cerrada a un problema de integración simbólica dado si existe?

Answer 1

No del todo, pero tal vez no por la razón que esperas.

Existe un algoritmo para la integración simbólica de funciones elementales. Se llama algoritmo de Risch, pero tiene un pequeño problema, ya que en realidad no es un algoritmo. Es casi un algoritmo.

Uno de los pasos clave para manipular expresiones simbólicas formadas por funciones elementales es decidir si dicha expresión es idénticamente cero o, en otras palabras, si dos expresiones son iguales.

Ese problema es indecidible. Con una galería bastante limitada de funciones “elementales”, se ha demostrado que este problema no se puede resolver en absoluto. No es una cuestión de complejidad, es una cuestión de computabilidad. No hay algoritmo que haga eso.

Sin embargo, si asume que algún oráculo es capaz de responder tales preguntas por usted, entonces el algoritmo de Risch se convierte en un algoritmo de buena fe. Entonces, el problema de la integración simbólica de las funciones elementales es tan difícil como el problema de determinar si dos expresiones son iguales, y ambos problemas no son realmente solucionables. En la práctica, hay heurísticas bastante buenas que funcionan en muchos casos, por lo que algunos sistemas de álgebra computacional logran hacer un buen trabajo en la integración simbólica.

Answer 2

Casi. El algoritmo de Risch “es un método para decidir si una función tiene una función elemental como integral indefinida; y también, si la tiene, determinarla”.

Sin embargo, un paso del algoritmo implica verificar si una función es idénticamente cero, lo que se hace utilizando métodos heurísticos. No se sabe si esto es posible para el conjunto típico de funciones elementales, y definitivamente no es posible cuando se incluye la función de valor absoluto.

Descargo de responsabilidad: no sé nada sobre este algoritmo además de lo que está en el artículo de Wikipedia.