¿Alguna vez podremos resolver el problema del cuerpo n?

Answer 1

La buena noticia es que, gracias al teorema de KAM, existen grandes clases de problemas de n cuerpos que podemos simular con gran precisión en la medida en que nos interese calcular.

La mala noticia es que hay ciertos aspectos del problema de los n cuerpos que hacen improbable que podamos poner una solución en una camiseta: colisiones que son singularidades, resonancias cuando las frecuencias de múltiples cuerpos conducen a inestabilidades y la falta de suficientes constantes de movimiento para conducir a respuestas simples.

Comencemos con la ecuación sin colisión donde los cuerpos no hacen cosas extrañas como chocar entre sí.

Matemáticamente, no hay una solución simple. Es improbable que encontremos integrales de movimiento que nos permitan escribir el problema del cuerpo n en términos de funciones periódicas simples que evolucionan sin problemas con el tiempo para todos los sistemas de cuerpo n, excepto los más artificiales (para n> 3).

Numéricamente, en su mayoría es simple calcular el movimiento cuasiperiódico de n cuerpos. La imagen numérica es mucho más optimista. Usando enfoques como el método multipolo rápido, la complejidad de determinar cómo evoluciona un conjunto de cuerpos con el tiempo hace posible simular miles de cuerpos independientes.

Para los sistemas que obedecen el teorema de KAM, las soluciones son lo suficientemente cercanas a periódicas como para que pequeñas desviaciones conduzcan a soluciones limitadas, y a las computadoras les gustan bastante.

¿Cuál es el problema? Digamos que estamos en un sistema donde las resonancias orbitales significan que el sistema no es estable en el tiempo y pequeños cambios en las condiciones iniciales conducen a trayectorias de fase espacial muy diferentes. Aquí simplemente no hay mucha esperanza para una solución a largo plazo, más de lo que hay esperanza para una solución climática a largo plazo.

Con las colisiones, todas las apuestas están canceladas.

Las matemáticas se desmoronan cuando permitimos que la separación entre dos puntos llegue a cero. Los denominadores pequeños son a menudo una señal de que el modelo subyacente (en este caso la gravedad newtoniana en partículas puntuales) no es una imagen realista y un regularizador (como la presencia de separaciones mínimas, la interacción de cuerpos rígidos, y mucho menos los efectos de la relatividad general) cambia la historia

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Wikipedia tiene todas las referencias:

problema del cuerpo n

Answer 2

Tenemos. Yo tengo.

Pero no analíticamente.

En general, un problema de N-cuerpos no puede resolverse analíticamente. Hay algunas configuraciones que pueden, pero estos son casos (muy) especiales. Creo que se ha demostrado matemáticamente que el problema del cuerpo n no se puede resolver analíticamente para todos los casos.

Sin embargo, eso significa que no podemos resolverlo numéricamente.

Un ejemplo de un problema de N-cuerpos es una simulación de nuestro sistema solar. Podría tratarse como una serie de problemas de 2 cuerpos, cada planeta alrededor del sol, pero eso no tiene en cuenta las interacciones entre Mercurio y Júpited, por ejemplo.

Sin embargo, si configuramos una simulación y usamos leyes newtonianas simples de gravitación y movimiento, podemos usar un método de integración numérica (el proyecto que estoy codificando actualmente usa la integración Verlet) para darnos aproximaciones de una respuesta.

Cuanto más potencia informática (y tiempo) estamos dispuestos a dedicar a la simulación, significa más y más precisión.

Entonces podemos resolver todos los problemas del cuerpo N, solo que no analíticamente.

Answer 3

Dejando a un lado las soluciones numéricas, es un mito bastante grande en el mundo de la física que el problema del cuerpo n es irresoluble. No solo es solucionable, sino que el problema de los 3 cuerpos fue resuelto hace más de cien años por Karl Sundman. No sería hasta la década de 1990 que su solución sería generalizada al problema de los n cuerpos por un estudiante chino, Quidong Wang. La confusión surge porque Poincare (junto con Bruns) demostró que el problema del cuerpo n no tenía soluciones integrales que sean algebraicas con el tiempo, la posición y la velocidad, aparte de algunos casos especiales. Esto no significa que el problema del cuerpo n sea insoluble, solo significa que los métodos estándar que usan los físicos para resolver ecuaciones diferenciales no producirán soluciones algebraicas. Sin embargo, puede mostrar que cualquier problema de valor inicial para las ecuaciones produce una solución única (a menos que haya colisiones).

Sundman pudo obtener soluciones en serie para el problema de los 3 cuerpos que eran cúbicos en el tiempo y pudo demostrar que estas series eran convergentes para todo el tiempo real. También pudo utilizar la regularización para obtener una solución que involucraba colisiones de dos cuerpos (más tarde se demostró que esta técnica no puede expandirse a colisiones de más de dos cuerpos). Algo confuso, las soluciones exactas de Sundman y Wang al problema de los n cuerpos no han aportado absolutamente nada a nuestro conocimiento sobre las órbitas de los cuerpos celestes. Esto se debe a que, a pesar de que las soluciones son convergentes para todo el tiempo real, son muy, muy lentamente , y requieren la suma de millones de términos por períodos de tiempo incluso insignificantemente cortos. El error de redondeo esencialmente hace que estas soluciones sean inútiles en cualquier sentido práctico. Las técnicas numéricas estándar son una alternativa muy superior.