¿Cuáles son los valores de [matemática] a, b, c, d [/ matemática] si [matemática] P (x) = x ^ 4 + ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [/ matemática] y las sumas de los pares de raíces de [matemáticas] P (x) [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] 1,2,5,6,9,10 [/ matemáticas]?

Answer 1

Deje [matemáticas] \ {x_1, x_2, x_3, x_4 \} \; [/ matemáticas] sean las raíces de la ecuación:

[matemáticas] P (x) = x ^ 4 + ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [/ matemáticas]

De acuerdo con la regla de Vieta, podemos escribir [matemáticas] P (x) \; [/ matemáticas] como:

[matemáticas] P (x) = x ^ 4 – (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) x ^ 3 + (x_1.x_2 + x_2.x_3 + x_3.x_4 + x_4.x_1 + x_2.x_4 + x_3.x_4) – (x_2.x_3.x_4 + x_1.x_3.x_4 + x_1.x_2.x_4 + x_1.x_2.x_3) x + x_1.x_2.x_3.x_4 [/ math]

Por lo tanto:

[matemáticas] a = – (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) [/ matemáticas]

[matemáticas] b = (x_1.x_2 + x_2.x_3 + x_3.x_4 + x_4.x_1 + x_2.x_4 + x_3.x_4) [/ matemáticas]

[matemáticas] c = – (x_2.x_3.x_4 + x_1.x_3.x_4 + x_1.x_2.x_4 + x_1.x_2.x_3) [/ matemáticas]

[matemáticas] d = x_1.x_2.x_3.x_4 [/ matemáticas]

Sin pérdida de generalidad, supongamos:

[matemáticas] x_1 \ le x_2 \ le x_3 \ le x_4 [/ matemáticas]

Entonces se mantienen las siguientes desigualdades:

[matemáticas] (x_1 + x_2) \ le (x_1 + x_3) \ le (x_1 + x_4) \ le (x_2 + x_4) \ le (x_3 + x_4) [/ matemáticas]

y

[matemáticas] (x_1 + x_2) \ le (x_1 + x_3) \ le (x_2 + x_3) \ le (x_2 + x_4) \ le (x_3 + x_4) [/ matemáticas]

Entonces, la única relación que no se conoce es entre: [matemáticas] (x_1 + x_4) \; [/ math] y [math] (x_2 + x_3) \ ;. [/ math]

Por lo tanto, [matemáticas] (x_1 + x_2) \; [/ math] es la suma mínima del par, y [math] (x_3 + x_4) \; [/ math] es la suma máxima del par.

Por lo tanto:

[matemáticas] (x_1 + x_2) = 1 \; [/ math] y [math] (x_3 + x_4) = 10 \; [/ math]

También:

[matemáticas] (x_1 + x_3) = 2 \; [/ math] y [math] (x_2 + x_4) = 9 \; [/ math]

porque son el segundo mínimo y el penúltimo máximo.

Entonces [matemáticas] (x_2 + x_3) \; [/ math] puede ser [math] 5 \; [/ math] o [math] 6. [/ math]

Y [matemáticas] (x_1 + x_4) \; [/ math] puede ser [math] 6 \; [/ math] o [math] 5 [/ math] [math]. [/ math]

Podemos obtener otra ecuación: [matemáticas] (x_3 – x_2) = (x_1 + x_3) – (x_1 + x_2) = 2 -1 = 1. [/ Matemáticas]

Por lo tanto, suponiendo [matemáticas] (x_2 + x_3) = 5 \; [/ matemáticas] junto con la ecuación anterior tenemos los siguientes valores:

[matemáticas] x_1 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_3 = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_4 = 7 [/ matemáticas]

Tenemos que excluir la posibilidad de [matemáticas] (x_2 + x_3) = 6 \; [/ math] porque esto lleva a soluciones fraccionales, y necesitamos soluciones enteras.

Por lo tanto:

[matemáticas] a = – (- 1 + 2 + 3 + 7) = -11 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = (-1.2 + -1.3 + -1.7 + 2.3 + 2.7 + 3.7) = 29 [/ matemáticas]

[matemáticas] c = – (2.3.7 + (-1.3.7) + (-1.2.7) + (-1.2.3)) = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] d = (-1.2.3.7) = -42 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] P (x) = x ^ 4 – 11x ^ 3 + 29x ^ 2 – x – 42 [/ matemáticas]

Answer 2

Si nos fijamos, le damos 6 ecuaciones para resolver 4 variables.

Podemos encontrar la raíz de este polinomio usando esta ecuación:

x = -3/2

y = 5/2

z = 7/2

w = 13/2

Usando estos valores a = 11, b = 29, c = -59/4, d = 1365/16