¿Podría decirme si cada problema cuya solución puede ser verificada por una computadora en tiempo polinómico puede ser resuelta por una computadora en tiempo polinómico?

Como ya se mencionó, esta es una pregunta de un millón de dólares “P vs NP”, P contiene el conjunto de todos los problemas que la computadora puede resolver en tiempo polinómico, NP contiene lo contrario.

Se supone que P NO ES IGUAL A NP. Pero eso aún no está probado.

En informática, el problema de la suma de subconjuntos es un problema importante en la teoría de la complejidad y la criptografía. El problema es este: dado un conjunto (o conjunto múltiple) de enteros, ¿hay un subconjunto no vacío cuya suma es cero? Por ejemplo, dado el conjunto {−7, −3, −2, 5, 8}, la respuesta es porque el subconjunto {−3, −2, 5} suma a cero. El problema es NP-completo.

Recientemente, Laszlo Babai publicó un algoritmo de tiempo cuasi polinomial para detectar el isomorfismo gráfico que antes era difícil de clasificar en P o NP. Los algoritmos de tiempo cuasi polinomial, a diferencia de los algoritmos de tiempo polinomial, dependen de un poder pequeño pero creciente de n que es menor que exponencial pero mayor que decir [matemáticas] n ^ 4 [/ matemáticas]. Otro problema es encontrar factores primos de números que aún no se han probado.

Algoritmo de tiempo cuasipolinomial para isomorfismo gráfico: los detalles

Solo te digo una situación práctica. Tu amigo te pide que resuelvas un rompecabezas. Te rompes la cabeza con el rompecabezas y no logras resolverlo. Luego aceptas tu derrota y le pides a tu amigo que responda. En el momento en que dice la respuesta, entiendes por qué la respuesta es correcta.

Hay clases de problemas, a saber, P y NP. P contiene todos los problemas que pueden ser respondidos por un algoritmo cuyo tiempo de ejecución está limitado por un polinomio, mientras que NP contiene todos los problemas cuya respuesta es verificable en el tiempo polinómico. Obviamente, la intersección de P y NP no está vacía. La conjetura P = NP aún no está decidida. Supongamos que la conjetura se resuelve. Entonces la respuesta a su problema sería SÍ.

En lo que respecta al estado actual, existen problemas para los cuales ningún algoritmo conocido puede resolverlos en tiempo polinómico (no puedo decir que no exista ninguno), pero la solución puede verificarse en tiempo polinómico. Ejemplo de tales problemas es el problema de factorización. El problema es: dado un número compuesto [matemática] n [/ matemática] encuentre un factor no trivial de [matemática] n [/ matemática] es decir, un número [matemático] m [/ matemático] tal que [matemático] m \ neq 1, m \ neq n [/ math] y [math] m [/ math] divide [math] n. [/ Math] Si n es bastante grande (digamos de 500 dígitos), para algunos números puede tomar años encontrar un factor en una supercomputadora Pero si digo un factor de [matemáticas] n [/ matemáticas], la verificación se puede hacer en un segundo.

Por lo tanto, según el conocimiento y las capacidades actuales, la respuesta NO ES NECESARIA.

No. Un ejemplo simple para su pregunta es el problema de factorización principal.

Si tenemos dos (o también puede usar varios números primos), digamos con 150 dígitos, puede encontrar fácilmente el producto de estos números primos. Eso significa que si le doy [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas] más otro número entero [matemáticas] n [/ matemáticas], puede verificar si [matemáticas] n [/ matemáticas] es el producto de [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática] simplemente multiplicando [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática], que es el problema de multiplicación y un tiempo polinómico probado uno.

Pero, si solo le doy el número entero [matemáticas] n [/ matemáticas], que tiene aproximadamente 300 dígitos en su tamaño y que es el producto de dos números primos del mismo tamaño, sin darle los números primos [matemáticas] p [/ math] y [math] q [/ math] pero le pedimos que descubra [math] p [/ math] y [math] q [/ math], que se supone que es un problema de tiempo no polinómico. En este punto, se ha demostrado que este problema es a lo sumo un problema de tiempo sub-exponencial. Está relacionado con uno de los siete problemas abiertos del Clay Institute llamado [math] P \ not = NP [/ math]. En realidad, esta conjetura es la base teórica detrás del famoso sistema criptográfico RSA.