Puedes modificar la expresión:
[matemáticas] (x ^ 2 + x + 2) / (x ^ 2 + x + 1) = 1 + 1 / (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas]
y puede ver claramente que el valor más bajo que puede devolver la función es 1. Puede obtener el mayor valor minimizando la expresión (x ^ 2 + x + 1). Simplemente puede usar una derivada y obtendrá
[matemáticas] x_0 = 4/3 [/ matemáticas]
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entonces el mayor valor de la función es
[matemáticas] 1 + 1 / (3/4) = 7/3 [/ matemáticas]
por lo tanto, el rango es (1; 7/3].
ADICIÓN: Minimizar la expresión [math] x ^ 2 + x +1 [/ math] se puede hacer con la derivada de esta expresión con respecto a [math] x [/ math].
[matemáticas] (x ^ 2 + x + 1) ‘= 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2x + 1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = – \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
entonces simplemente ponemos este resultado en la expresión original
[matemáticas] 1 + \ frac {1} {\ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} + 1} = 1 + \ frac {1} {\ frac {3} {4}} = 1 + \ frac {4} {3} = \ frac {7} {3} [/ math]