¿Cuál será el rango de la función f (x) = (x ^ 2 + x + 2) / (x ^ 2 + x + 1)?

Puedes modificar la expresión:

[matemáticas] (x ^ 2 + x + 2) / (x ^ 2 + x + 1) = 1 + 1 / (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas]

y puede ver claramente que el valor más bajo que puede devolver la función es 1. Puede obtener el mayor valor minimizando la expresión (x ^ 2 + x + 1). Simplemente puede usar una derivada y obtendrá

[matemáticas] x_0 = 4/3 [/ matemáticas]

entonces el mayor valor de la función es

[matemáticas] 1 + 1 / (3/4) = 7/3 [/ matemáticas]

por lo tanto, el rango es (1; 7/3].

ADICIÓN: Minimizar la expresión [math] x ^ 2 + x +1 [/ math] se puede hacer con la derivada de esta expresión con respecto a [math] x [/ math].

[matemáticas] (x ^ 2 + x + 1) ‘= 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = – \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

entonces simplemente ponemos este resultado en la expresión original

[matemáticas] 1 + \ frac {1} {\ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} + 1} = 1 + \ frac {1} {\ frac {3} {4}} = 1 + \ frac {4} {3} = \ frac {7} {3} [/ math]

Funciona desde los números reales hasta el rango (1,7 / 3] (1 a 7/3, excluyendo 1, incluyendo 7/3). Esto se puede mostrar de la siguiente manera. Suponga (x ^ 2 + x + 2) / (x ^ 2 + x + 1) para ser <= 1. Esto implicaría que x ^ 2 + x + 2 <= x ^ 2 + x + 1, es decir, 2 <= 1, lo cual es una contradicción. la función siempre debe ser mayor que 1. Al tomar el límite de la función, ya que tiende hacia el infinito positivo o negativo, encontramos que se comporta como f (x) = (x ^ 2 + x) / (x ^ 2 + x) que es (casi) lo mismo que f (x) = 1, por lo que encontramos que el límite inferior del rango debe ser 1. Para encontrar el límite superior, podemos diferenciar y ver si hay un máximo en cualquier parte de la función. nos dice que hay un punto de inflexión en x = -1 / 2, que resulta ser un máximo, ya sea por prueba de derivada doble o dibujando la función, y f (-1/2) = 7/3. Esto nos da el límite superior como máximo de 7/3 y, por lo tanto, la función se asigna de los números reales a (1,7 / 3].
** Editar: Estúpido error aritmético que dice f (-1/2) = 2, es 7/3 **

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