¿Cuál es el valor de [math] \ displaystyle \ sum_ {r = 0} ^ {\ infty} \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {1 + r + r ^ 2} [/ math]?

Answer 1

Debe escribir la suma al infinito como límite para evitar argumentos innecesarios que [math] \ tan ^ {- 1} (\ infty) = \ frac {\ pi} {2} [/ math] que no es explícitamente correcto decir como [math] \ tan \ frac {\ pi} {2} [/ math] no está definido.

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {r = 0} ^ {\ infty} \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {1 + r + r ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ sum_ {r = 0} ^ {\ infty} \ tan ^ {- 1} \ frac {(r + 1) – (r)} {1+ (r) (r + 1)} [/matemáticas]

[matemática] = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ displaystyle \ sum \ limits_ {r = 0} ^ n \ tan ^ {- 1} (r + 1) – \ tan ^ {- 1} (r )[/matemáticas]

[matemática] = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ left (\ tan ^ {- 1} (1) + \ tan ^ {- 1} (2) – \ tan ^ {- 1} (1) +… + \ Tan ^ {- 1} (n + 1) – \ tan ^ {- 1} (n) \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ tan ^ {- 1} (n + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]

Para aquellos que preguntan por qué no deberíamos usar la integración para resolver el problema, Wolfram Alpha verifica

Answer 2

Aquí te digo cómo proceder.

Mire el denominador, es 1 + r + r² que también se puede escribir como 1 + r (1 + r).

Y en el numerador es 1, que también se puede escribir como (1 + r) -r.

Entonces la pregunta se verá así:

Y después de eso, aquí está la solución.

Espero que lo consigas.
Todo lo mejor.

Answer 3

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {r = 0} ^ {\ infty} \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {1 + r + r ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ sum_ {r = 0} ^ {\ infty} \ tan ^ {- 1} \ frac {(r + 1) – (r)} {1+ (r) (r + 1)} [/matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ sum_ {r = 0} ^ {\ infty} \ tan ^ {- 1} (r + 1) – \ tan ^ {- 1} (r) [/ math]

[matemáticas] = \ tan ^ {- 1} (1) – \ tan ^ {- 1} (0) + \ tan ^ {- 1} (2) – \ tan ^ {- 1} (1) +…. . + \ tan ^ {- 1} (\ infty) [/ math]

[matemáticas] = – \ tan ^ {- 1} (0) + \ tan ^ {- 1} (\ infty) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 0 + \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]