Cómo mostrar que [math] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) g (x) \, dx \ geq 1 [/ math] para dos funciones [math] f [/ math] y [ matemática] g [/ matemática] tal que [matemática] f (-x) = 1 / f (x) [/ matemática] y [matemática] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} g (x) \, dx = 1 [/ matemáticas]

Answer 1

En este problema, se nos proporciona la siguiente información:

1. [matemática] f [/ matemática] y [matemática] g [/ matemática] son ​​funciones con valores positivos definidos en [matemática] [- 1,1] [/ matemática].
2. [math] g [/ math] es una función par, es decir, [math] g (x) = g (-x) \ \ forall x \ in [-1,1] [/ math].
3. [matemáticas] f (-x) = 1 / f (x) \ \ forall x \ en [-1,1] [/ matemáticas].
4. Además, sabemos que la solución a [matemáticas] \ left [\ min_ {a> 0} a + \ frac {1} {a} \ right] [/ math] es [math] a = 1 [/ math] y el valor mínimo de [math] a + \ frac {1} {a} [/ math] es, por lo tanto, [math] 2 [/ math].
5. [matemáticas] \ int _ {- 1} ^ {1} g (x) dx = 1 [/ matemáticas]

Aquí está la prueba requerida, el número entre paréntesis después de cualquier paso simplemente apunta a la información (de la lista anterior) que ha llevado a ese paso:

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} & \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) g (x) dx & \\ = & \ int _ {- 1} ^ {0} f (x) g ( x) dx + \ int_ {0} ^ {1} f (x) g (x) dx & \\ = & \ int_ {0} ^ {1} f (-x) g (-x) dx + \ int_ {0} ^ {1} f (x) g (x) dx & \\ = & \ int_ {0} ^ {1} f (-x) g (x) dx + \ int_ {0} ^ {1} f (x) g (x) dx & [2] \\ = & \ int_ {0} ^ {1} (f (x) + f (-x)) g (x) dx & \\ = & \ int_ {0} ^ {1} \ left (f (x) + \ frac {1} {f (x)} \ right) g (x) dx & [3] \\ \ geq & \ int_ {0} ^ { 1} \ min_ {a} \ left (a + \ frac {1} {a} \ right) g (x) dx & [1] \\ = & \ int_ {0} ^ {1} 2g (x) dx & [4] \\ = & \ int_ {0} ^ {1} g (x) dx + \ int_ {0} ^ {1} g (x) dx & \\ = & \ int _ {- 1} ^ { 0} g (x) dx + \ int_ {0} ^ {1} g (x) dx & [2] \\ = & \ int _ {- 1} ^ {1} g (x) dx \\ = & 1 & [5] \ end {eqnarray *} [/ math]

Por lo tanto, [math] \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) g (x) dx \ geq 1 [/ math].