Cómo resolver la ecuación [matemáticas] a = b \ sin (x) + c \ cos (x) [/ matemáticas] para [matemáticas] x [/ matemáticas]

Answer 1

Trigonometría / Simplificando a sin (x) + b cos (x)

<Trigonometría

Considera la función

Mostraremos que esta es una onda sinusoidal, y encontraremos su amplitud y fase.

Para simplificar un poco las cosas, supondremos que a y b son
Ambos números positivos. Esto no es necesario, y después de estudiar esto
sección le gustaría pensar qué pasaría si cualquiera de ao b es
cero o negativo

Argumento geométrico

que hacer: agregar diagrama.

Primero usaremos un argumento geométrico que realmente muestre un resultado más general, que:

Es una onda sinusoidal. Ya que podemos establecer

el resultado que estamos intentando con

sigue como un caso especial.

Usamos la definición de ‘círculo unitario’ de seno.

es la coordenada y de una línea de longitud

en ángulo

al eje x, desde O el origen, hasta un punto A.

Si ahora dibujamos una línea

de longitud

en ángulo

(donde ese ángulo se mide en relación con una línea paralela al eje x), su coordenada y es la suma de los dos senos.

Sin embargo, hay otra forma de ver la coordenada y del punto

. La línea

no cambia de longitud a medida que cambiamos

, porque las longitudes de

y

y el ángulo entre ellos no cambia. Todo lo que pasa es que el triángulo

gira alrededor de O. En particular

gira alrededor de O.

Esto nos lleva de vuelta a un “círculo unitario” como la definición de una función sinusoidal. La amplitud es la longitud de

y la fase es

.

Argumento Algebraico

El argumento algebraico es esencialmente una traducción algebraica del
ideas del argumento geométrico. También estamos en el caso especial
ese

y

. Las x e y en uso en esta sección ya no son coordenadas. La ‘y’ va a desempeñar el papel de

y la ‘x’ juega el papel de

.

Definimos el ángulo y por

.

Al considerar un triángulo rectángulo con los lados cortos de longitud ayb, deberías poder ver que

y

.

Mira esto

Mira esto

como se esperaba.

,

que es (redoble de tambores) una onda sinusoidal de amplitud

y fase y.

Mira esto

Verifique cada paso en la fórmula.

• ¿Qué fórmulas trigonométricas utilizamos?

El caso mas general

¿Puedes hacer la versión algebraica completa para el caso más general:

usando el argumento geométrico como una pista? Es un poco más difícil porque

No es un triángulo rectángulo.

• ¿Qué fórmulas trigonométricas adicionales necesitabas?

• Tabla de contenido

Categoría:

• Trigonometría

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Answer 2

Usaremos la ecuación de trigonometría para el seno de la suma de dos ángulos:

[matemáticas] \ sin (x + y) = \ sin (x) \ cos (y) + \ cos (x) \ sin (y) [/ matemáticas]

En nuestro caso, necesitamos encontrar una [matemática] y [/ matemática] de modo que podamos unir [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] con el seno y el coseno de la misma. Por supuesto, dado que [math] \ sin ^ 2 (y) + \ cos ^ 2 (y) = 1 [/ math], podríamos necesitar escalar [math] b [/ math] y [math] c [/ math ] Si dividimos la ecuación entre [matemáticas] \ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2} [/ matemáticas], obtenemos:

[matemáticas] \ frac {a} {\ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2}} = \ frac {b} {\ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2}} \ sin (x) + \ frac {c } {\ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2}} \ cos (x) [/ math]

Ahora todo lo que necesitamos es establecer [math] y = \ arcsin \ left (\ frac {b} {\ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2}} \ right) [/ math], y obtenemos:

[matemáticas] \ frac {a} {\ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2}} = \ sin \ left (x + \ arcsin \ left (\ frac {b} {\ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2 }} \ right) \ right) [/ math]

Tomando el arcoseno de ambos lados:

[matemática] \ arcsin \ left ([/ matemática] [matemática] \ frac {a} {\ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2}} [/ matemática] [matemática] \ derecha) = x + [/ matemática] [matemáticas] \ arcsin \ left (\ frac {b} {\ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2}} \ right) [/ math] [math] [/ math]

Esto nos da el valor de [math] x [/ math]:

[matemática] x = [/ matemática] [matemática] \ arcsin \ left ([/ matemática] [matemática] \ frac {a} {\ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2}} [/ matemática] [matemática] \ derecha) – [/ matemáticas] [matemáticas] \ arcsin \ izquierda (\ frac {b} {\ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2}} \ derecha) [/ matemáticas]

Answer 3

Tenemos

[matemáticas] a = b \ veces \ sin (x) + c \ veces \ cos (x) [/ matemáticas]

aplicando las “fórmulas paramétricas” que expresan todas las funciones trigonométricas en x como

[matemáticas] t = \ tan (\ frac {x} {2}) [/ matemáticas]

se convirtió

[matemáticas] a = b \ veces \ frac {2t} {1 + t ^ 2} + c \ veces \ frac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2} [/ matemáticas]

multiplicando por [matemáticas] 1 + t ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a (1 + t ^ 2) = 2bt + c (1-t ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] a (1 + t ^ 2) -2bt-c (1-t ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a + en ^ 2-2bt-c + ct ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + c) t ^ 2-2bt + (ac) = 0 [/ matemáticas]

usando el método conocido para encontrar t

[matemáticas] t = \ frac {2b \ pm \ sqrt {4b ^ 2-4 (a + c) (ac)}} {2 (a + c)} [/ matemáticas]

[matemáticas] t = \ frac {b \ pm \ sqrt {b ^ 2-a ^ 2 + c ^ 2}} {(a + c)} [/ matemáticas]

ya que

[matemáticas] t = \ tan (\ frac {x} {2}) [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] \ tan (\ frac {x} {2}) = \ frac {b \ pm \ sqrt {b ^ 2-a ^ 2 + c ^ 2}} {(a + c)} [/ matemáticas]

lo que significa

[matemáticas] \ frac {x} {2} = \ arctan (\ frac {b \ pm \ sqrt {b ^ 2-a ^ 2 + c ^ 2}} {(a + c)}) [/ matemáticas]

o

[matemáticas] x = 2 \ arctan (\ frac {b \ pm \ sqrt {b ^ 2-a ^ 2 + c ^ 2}} {(a + c)}) [/ matemáticas]

Answer 4

si bcw es un triángulo rectángulo de hipotenusa [matemáticas] w = \ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2} [/ matemáticas] entonces

multiplique cada lado de la ecuación por [matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemáticas], entonces tendría

[matemáticas] \ frac {c} {\ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2}} cosx + \ frac {b} {\ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2}} sinx = \ frac {a} {\ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemáticas]

Sea un ángulo y como [math] siny = \ frac {c} {\ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2}} [/ math] y [math] cosy = \ frac {b} {\ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemáticas]

entonces nosotros tenemos

[math] sinycosx + cosysinx = \ frac {a} {\ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2}} [/ math] si usamos la identidad [math] sinucosv + cosusinv = sin (uv) [/ math] entonces nosotros tendriamos

[matemáticas] sin (yx) = \ frac {a} {\ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2}}, [/ matemáticas] entonces

[matemáticas] yx = sin ^ {- 1} (\ frac {a} {\ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2}}) [/ matemáticas]

[matemática] x = y-sin ^ {- 1} (\ frac {a} {\ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2}}) [/ matemática]

Hay dos métodos más similares que puede usar para encontrar la misma respuesta.

Answer 5

Tenga en cuenta que cambié los roles de [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] y es demasiado problema arreglarlos a todos …

Primero combina los términos trigonométricos en una sola pieza.

[matemáticas] a \ cos x + b \ sin x = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ left (\ frac a {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ cos x + \ frac b { \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ sen x \ right) [/ math]

El punto de este paso es que los cuadrados de los dos coeficientes de los términos trigonométricos ahora se suman a uno. Esto implica que hay un ángulo único, [matemática] \ phi \ en [0,2 \ pi) [/ matemática], tal que [matemática] \ cos \ phi = \ frac a {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemática] y [matemática] \ sin \ phi = \ frac b {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemática]. Vea atan2 para una discusión sobre cómo identificar este ángulo si sus habilidades trigonométricas están oxidadas.

Entonces ahora podemos escribir:

[matemáticas] a \ cos x + b \ sin x = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ left (\ cos x \ cos \ phi + \ sin x \ sin \ phi \ right) [/ math]

El término dentro de los paréntesis es exactamente un lado de la identidad de diferencia de ángulo para cosenos:

[matemáticas] \ cos (\ alpha- \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ math]

Entonces vemos que:

[matemáticas] a \ cos x + b \ sin x = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ cos \ left (x- \ phi \ right) [/ math]

Entonces, queremos resolver lo siguiente para x:

[matemáticas] c = a \ cos x + b \ sin x = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ cos \ left (x- \ phi \ right) [/ math]

Obtenemos:

[matemáticas] \ frac c {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = \ cos \ left (x- \ phi \ right) [/ math]

Entonces:

[matemáticas] \ arccos \ left (\ frac c {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ right) = x- \ phi [/ math]

Y finalmente:

[matemáticas] x = \ phi + \ arccos \ left (\ frac c {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ right) [/ math]

Si desea escribir esto con [math] \ phi [/ math] especificado, obtendrá:

[matemáticas] x = \ text {atan2} \ left (b, a \ right) + \ arccos \ left (\ frac c {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ right) [/ math]

Finalmente, tenga en cuenta que [matemáticas] x [/ matemáticas] es un ángulo y las funciones involucradas son [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas] -periódico, puede agregar a [matemáticas] x [/ matemáticas] cualquier múltiplo entero de [ matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas] y eso también debe ser una solución.

Answer 6

a = cuenca (x) + ccos (x)

Deje √ (b ^ 2 + c ^ 2) = p, mult. y dividir por p

a = p [b / psin (x) + c / p {cosx}]. Sea b / p = cos (e), y c / p = sin (e)

a = p [cos (e) sin (x) + sin (e) cos (x)

a = p [sin (x + e)]

x + e = arcsin (a / p). e = arctan (c / b)

Entonces x = arco sin [a / √ (b ^ 2 + c ^ 2)] – arctan (c / b)