¿Cuál es el valor máximo de x ^ 3 * y ^ 3 + 3 x * y cuando x + y = 8?

Answer 1

[matemáticas] A2A [/ matemáticas]

Supongo que sabes cálculo diferencial

[matemáticas] x + y = 8 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] y = 8-x [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 y ^ 3 + 3xy [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = x ^ 3 (8-x) ^ 3 + 3x (8-x) [/ matemáticas]

Calcule [matemáticas] f ‘(x) [/ matemáticas] y póngalo igual a [matemáticas] 0 [/ matemáticas]

Observe que [matemática] f ‘(x) = 0 [/ matemática] dará la solución donde la pendiente de la tangente es [matemática] 0 [/ matemática]

y dado que la pendiente de la tangente es [matemática] 0 [/ matemática], entonces el punto es Máximo y mínimo

[matemáticas] f ‘(x) = 3x ^ 2 (8-x) ^ 3-3x ^ 3 (8-x) ^ 2 + 3 (8-x) -3x [/ matemáticas]

Si esto le parece difícil, consulte la Regla del producto y la Regla de la cadena

[matemáticas] 3x ^ 2 (8-x) ^ 3-3x ^ 3 (8-x) ^ 2 + 3 (8-x) -3x = 0 [/ matemáticas]

Divide ambos lados entre [matemáticas] 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 (8-x) ^ 3-x ^ 3 (8-x) ^ 2 + (8-x) -x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 (8-x) ^ 3 + (8-x) -x ^ 3 (8-x) ^ 2-x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (8-x) (x ^ 2 (8-x) ^ 2 + 1) -x (x ^ 2 (8-x) ^ 2 + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 (8-x) ^ 2 + 1) (8-xx) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] -2 (x ^ 2 (8-x) ^ 2 + 1) (x-4) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 (8-x) ^ 2 + 1) (x-4) = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la única solución real es [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas]

Puede verificar mediante la segunda prueba derivada que [math] x = 4 [/ math] es maxima

[matemáticas] f (4) = 4 ^ 3 (8-4) ^ 3 + 3 (4) (8-4) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (4) = 4 ^ 3 \ cdot 4 ^ 3 + 3 (4) (4) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (4) = 4 ^ 6 + 48 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (4) = 4096 + 48 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (4) = \ en caja {4144} [/ matemáticas]

¡¡Espero eso ayude!!