¿Puedo tratar la notación dy / dx como una fracción?

Answer 1

En la práctica, a menudo es útil tratar una derivada [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] como una fracción. Si bien esta no es la forma correcta de ver esto, funciona bien en una dimensión. Supongamos que tenemos una ecuación diferencial:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = y \\ [/ matemáticas]

Si hacemos trampa y multiplicamos ambos lados por [math] dx [/ math] y dividimos por [math] y [/ math], podemos intentar integrar:

[matemáticas] \ int \ frac {dy} {y} = \ int dx \\ [/ matemáticas]

El LHS es bien conocido y el RHS es la integral de un diferencial:

[math] \ ln | y | = x + C_0 \\ [/ math] o [math] y = Ce ^ x \\ [/ math], que es la solución general correcta. ¿Por qué funciona este truco?

Un caso más general que la primera ecuación es la ecuación diferencial:

[matemáticas] h (y) \ frac {dy} {dx} = g (x) \\ [/ matemáticas]

Sea [matemática] H (y) [/ matemática] la antiderivada de [matemática] h (y) [/ matemática] y [matemática] G (y) [/ matemática] sea la antiderivada de [matemática] g (y) [/matemáticas]. Sabemos que [matemáticas] \ frac {d} {dx} H (y) = \ frac {d \, H (y)} {dy} \ frac {dy} {dx} = h (y) \ frac {dy } {dx} \\ [/ math].

Entonces,

[matemáticas] \ frac {d} {dx} H (y) = g (x) \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ frac {d} {dx} H (y) dx = \ int g (x) dx \\ [/ matemáticas]

El LHS es la integral de una derivada completa, por lo que tenemos:

[matemáticas] H (y) = G (x) + C \\ [/ matemáticas],

que es exactamente lo que obtendríamos si simplemente sacamos [math] dx [/ math] como si fuera un denominador. Tenga en cuenta que esto no funcionará convenientemente en más de una dimensión.

Creo que es bueno saber cómo se deriva el resultado real, pero después de verlo una vez, no veo ningún daño en el tratamiento de derivados unidimensionales como fracciones de esta manera en este contexto (siempre que conozca las limitaciones del método).

Answer 2

Eh No estoy seguro de cómo te refieres a esta pregunta.

Pero como físico, a menudo trataré los diferenciales como cosas que puedo mover como otras variables.

Por ejemplo, supongamos que quisiera resolver la ecuación diferencial simple [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = kx. [/ Matemáticas] ¿Cómo lo haría? Separaría las variables y luego las integraría; es decir, mi próximo paso sería multiplicar efectivamente por [math] dx [/ math] para obtener [math] dy = kx dx. [/ math] Luego integre ambos lados, estableciendo condiciones de contorno si lo desea, y usted obtener algo como [matemáticas] y = \ frac {1} {2} kx ^ 2 [/ matemáticas] (más una constante aditiva, dependiendo de sus métodos). La clave es que solo puedo mover [math] dx [/ math].

Los físicos hacen este tipo de cosas salvajes, ignoran el formalismo todo el tiempo, simplemente moviendo los diferenciales a donde queramos. A veces incluso los cancelamos; así es como entiendo la regla de la cadena.

Pero hay restricciones sobre esto: sus funciones deben ser suaves y continuas (y obviamente diferenciables). De lo contrario, te meterás en muchos problemas.

E incluso entonces, no puedes, por ejemplo, sumar y multiplicar derivados como fracciones. Por ejemplo, la cantidad

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas]

es el cuadrado de la primera derivada con respecto a x,

[matemática] \ izquierda (\ frac {dy} {dx} \ derecha) ^ 2, [/ matemática]

y NO la segunda derivada,

[matemáticas] \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2}. [/ matemáticas]

Entonces, la respuesta es a veces en algunas circunstancias ocasionales que son sorprendentemente comunes pero en realidad bastante raras, sí, más o menos, algo que puedes tratar es como algo fraccionario.

Answer 3

No, dy / dx significa la tasa de cambio de una función y wrt (con respecto a) una función x. Significa cómo y cambia a medida que x cambia.