Si [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = 13 [/ matemática] y [matemática] a ^ 3 + b ^ 3 = 35 [/ matemática], ¿cuál es el valor de [matemática] a + b [/ matemática] ?

Answer 1

Los números cuadrados perfectos que son menores que 13 son 1,4 y 9

Tenga en cuenta que entre estos 3 solo 9 y 4 suman 13. Por lo tanto, entre [matemáticas] a ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] b ^ 2 [/ matemáticas] uno tiene 4 y el otro tiene 9. Vamos a suponer que [matemáticas] a ^ 2 = 4 [/ matemáticas] Entonces a = 2 y b = 3

Tenga en cuenta que esto también satisface la segunda ecuación [matemáticas] 2 ^ 3 + 3 ^ 3 = 8 + 27 = 35 [/ matemáticas]

Entonces a + b = 2 + 3 = 5

Bueno, este fue el atajo si estás resolviendo un mcq. Siempre puede continuar la forma larga pero engorrosa de resolver las dos ecuaciones.

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 + b ^ 2-ab) = (a + b) (13-ab) = 35 [/ matemáticas]

Entonces, desde aquí obtienes [math] ab = 13-35 / (a ​​+ b) [/ math]

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = (a + b) ^ 2-2ab = 13 [/ matemáticas]

Deje a + b = p y sustituya el valor de ab de la primera ecuación.

[matemáticas] 13 = p ^ 2-2 * (13-35 / p) [/ matemáticas]

Simplificando esto obtenemos [matemáticas] p ^ 3-39p + 70 = 0 [/ matemáticas]

Factoriza esto para obtener [matemáticas] (p-5) (p ^ 2 + 5p-14) = 0 [/ matemáticas]

Desde aquí obtienes p = 5 o [matemáticas] p ^ 2 + 5p-14 = 0 [/ matemáticas]

Resuelve la cuadrática. Obtendrás raíces que no satisfacen las ecuaciones. Entonces son rechazados. Entonces p = 5 es la única solución.

Entonces a + b = 5

Answer 2

Denote A = a + b y B = ab.
a ^ 2 + b ^ = 13 => A ^ 2-2B = 13 …… .. (1)
a ^ 3 + b ^ 3 = 35 => A ^ 3-3AB = 35…. (2)
Eliminando B entre (1) y (2)
obtenemos
A ^ 3-39B + 70 = 0
(A-2) (A-5) (A + 7) = 0
=> A = -7,2,5
=> a + b = -7,2,5

Answer 3

-A2A-

¡No lo resolveré por ti! Aunque podría ayudarte con los pasos.

Recordemos las identidades:

[matemáticas] (a + b) ^ 2 \ = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 \ = (a + b) (a ^ 2 + b ^ 2 – ab) [/ matemáticas]

Utilice las variables para [matemáticas] a + b = X [/ matemáticas] y [matemáticas] ab = Y [/ matemáticas]

Entonces, las ecuaciones se verán así:

[matemáticas] X ^ 2 \ = a ^ 2 + b ^ 2 + 2Y \ = 13 + 2Y [/ matemáticas]

& [matemáticas] a ^ 3 [/ matemáticas] [matemáticas] + b ^ 3 \ = 35 \ = X (13 – Y) [/ matemáticas]

Dos ecuaciones con dos incógnitas X e Y donde necesitas encontrar X.

¡Puedes ir por el método de sustitución!

¡Espero que ayude!

Answer 4

Asumimos que ayb son enteros positivos … ¿verdad?

En ese caso, si solo se necesita una respuesta, entonces es bastante simple: las opciones obvias para ayb serán 2 y 3. Verifiquemos:

[matemáticas] 2 ^ 2 + 3 ^ 2 = 4 + 9 = 13 [/ matemáticas] y

[matemáticas] 2 ^ 3 + 3 ^ 3 = 8 + 27 = 35 [/ matemáticas]

Esto significa [matemáticas] a + b = 2 + 3 = 5. [/ Matemáticas]

Y estamos felices!

Pero si desea hacer su vida miserable yendo detrás de la prueba algebraica de esta respuesta o está en la búsqueda de encontrar más respuestas, aquí está el comienzo:

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 – 2ab = 13 [/ matemáticas] o

[matemáticas] (a + b) ^ 2 – 13 = 2ab [/ matemáticas] —– ecuación 1

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 – ab + b ^ 2) = 35 [/ matemáticas] o

[matemáticas] 35 = (a + b) (13 – ab) [/ matemáticas] —- ecuación 2

Entonces, eliminando [math] ab [/ math] de las ecuaciones 1 y 2, obtenemos

[matemáticas] 70 = (a + b) (26 – (a + b) ^ 2 + 13) [/ matemáticas] o

[matemáticas] 70 = (a + b) (39 – (a + b) ^ 2) [/ matemáticas] o

[matemáticas] (a + b) ^ 3 – 39 (a + b) + 70 = 0 [/ matemáticas] —- (vea la nota a continuación)

Reescribamos esta ecuación sustituyendo, [matemática] a + b = t [/ matemática]

[matemáticas] t ^ 3 – 39t + 70 = 0 [/ matemáticas] (y sabemos que t es un entero positivo)

[matemáticas] t (39 – t ^ 2) = 70 [/ matemáticas]

pensando en los factores para [matemáticas] 70, [/ matemáticas] las opciones son [matemáticas] (1, 70), (2, 35), (5, 14), (7, 10). [/ matemáticas]

Así que hemos llegado al momento dorado de aceptar [matemáticas] t = 5 [/ matemáticas] como la única opción posible o [matemáticas] a + b = 5. [/ Matemáticas]

Nota: no existe un método particular para resolver ecuaciones cúbicas y no hay una factorización obvia posible aquí; respaldado por la suposición de enteros, ¡fuimos por el otro lado!

Answer 5

cuadrado ( a ) + cuadrado ( b ) significa que se suman dos cuadrados ayb, lo que da 13 y déjame asumir que a es 2 yb es 3 . Ahora, un cuadrado con 2 da 4 y 3 da 9 implica 13 (lo que esperamos).

cubo ( a ) + cubo ( b ) significa que se suman dos cubos a y b, lo que da 35 y déjenme considerar la suposición anterior 8 y 27 da 35. Entonces, a es 2 yb es 3.

Finalmente, a + b da 5.

Agregando: lo que significa que una línea con 2 + 3 (5) unidades se dibuja primero en un cuadrado y luego se deriva en un cubo más tarde.