Deje que [math] n [/ math] sea un entero positivo impar y [math] a, b [/ math] sean elementos de [math] \ mathrm {GF} (2 ^ n) [/ math]. ¿Cómo demuestro que [matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 = 0 [/ matemáticas] implica [matemáticas] a = b = 0 [/ matemáticas] (Lo contrario es trivial)?

Answer 1

Permítanme probar con [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 [/ matemáticas], y así sucesivamente.

Caso [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]. Solo tenemos un elemento distinto de cero, que es [matemática] \ bar {1} [/ matemática] o [matemática] 1 \! \! \ Pmod {2} [/ matemática], si utilizamos [matemática] {\ mathbb Z} / 2 {\ mathbb Z} [/ math] para representar [math] GF (2) [/ math]. Hay cuatro opciones para el conjunto de vectores bidimensionales [matemática] (a, b) = (0,0) [/ matemática], [matemática] (1, 0) [/ matemática], [matemática] (0, 1 ) [/ math] o [math] (1, 1) [/ math]. Tienes razón, solo [math] (a, b) = (0,0) [/ math] es la solución de [math] a ^ 2 + ab + b ^ 2 = 0 [/ math].

Caso [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]. Más allá de [matemática] 1 \! \ Pmod {2} [/ matemática] [matemática] \ en GF (2) \ subconjunto GF (2 ^ 2) [/ matemática] cualquier otro elemento es la raíz de [matemática] x ^ { 2 ^ 2 -1} -1 = x ^ 3 -1 = (x -1) (x ^ 2 + x + 1) [/ math]. Uno puede tratar de usar [matemáticas] \ frac {1 \ pm i \ sqrt {3}} {2} \ pmod {2} [/ matemáticas] pero tratando cada entero involucrado como elemento en [matemáticas] GF (2) [/ matemáticas]. Eso no es posible, ya que [math] 2 [/ math] no es invertible en [math] GF (2) [/ math].

Lo que está asegurado es que si [matemática] c \ en GF (2 ^ 2) [/ matemática] y [matemática] c \ ne 0 [/ matemática], [matemática] c \ ne [/ matemática] [matemática] 1 [ / math], luego [math] c ^ 2 + c +1 = 0 [/ math]. Hay [math] 4 [/ math] elementos, [math] 0, 1, c [/ math], y el último debe ser [math] c ^ {- 1} [/ math] (por qué: lo calculas fuera) Por lo tanto, podemos intentar usar [matemáticas] a = 1, c, [/ matemáticas] y [matemáticas] c ^ {- 1} [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 1, c, c ^ {- 1} [/ matemáticas]. De hecho, [matemáticas] c ^ {- 1} = c + 1 [/ matemáticas].

¡No! Lo que dijo en su pregunta no es correcto. Digamos, [matemáticas] a = 1, b = c [/ matemáticas]. Tenemos [matemáticas] 1 + b + b ^ 2 = 0 [/ matemáticas], pero [matemáticas] a \ ne 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] b \ ne 0 [/ matemáticas]. En realidad, [matemáticas] a \ ne b [/ matemáticas]. De hecho, tenemos soluciones [matemáticas] 7 [/ matemáticas] [matemáticas] (a, b) = (0,0), (1, c), (c, 1), (1, c + 1), ( c + 1, 1), (c, c + 1), (c + 1, c) [/ matemáticas].

Answer 2

Supongamos que tanto [math] a [/ math] como [math] b [/ math] no son cero (si uno es cero, trivialmente también el otro). Antes de comenzar, recordemos que [matemática] F = GF (2 ^ n) [/ matemática] tiene la característica [matemática] 2 [/ matemática], por lo tanto [matemática] x + x = 0 [/ matemática] para cualquier elemento [matemática] x \ en F [/ matemáticas].

Dividiendo la ecuación completa por [matemáticas] a ^ 2 [/ matemáticas] y sustituyendo [matemáticas] c = \ frac {b} {a} [/ matemáticas] obtenemos [matemáticas] c ^ 2 + c + 1 = 0 [/ matemáticas]. Al agregar [math] 1 [/ math] a ambos lados de la ecuación tenemos [math] c ^ 2 + c = 1 [/ math].

Ahora cuadramos esta ecuación y obtenemos [matemáticas] c ^ 4 + 2c ^ 3 + c ^ 2 = c ^ 4 + c ^ 2 = 1 [/ matemáticas]. Al repetir esto obtenemos [matemáticas] c ^ 8 + c ^ 4 = 1, c ^ {16} + c ^ 8 = 1, \ puntos, c ^ {2 ^ n} + c ^ {2 ^ {n-1 }} = 1. [/ math] Sumando todas estas ecuaciones juntas (comenzando con [math] c ^ 2 + c = 1 [/ math]) obtenemos [math] c + c ^ {2 ^ n} [/ math] en el lado izquierdo (y muchos ceros) y [matemáticas] 1 [/ matemáticas] en el lado derecho (dado que [matemáticas] n [/ matemáticas] es impar, resumimos un número impar de unidades, que siempre es uno). Sin embargo, [matemática] c + c ^ {2 ^ n} = c + c ^ {| F |} = c + c = 0 \ neq 1, [/ matemática] lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, [matemática] a [/ matemática] o [matemática] b [/ matemática] es igual a cero y, en consecuencia, [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] es igual a cero.