Cómo evaluar el límite [matemática] \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {n!} {N ^ n} \ right) ^ {1 / n} [/ math]

Answer 1

[matemáticas] L = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {n!} {n ^ n} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} [/ math]

Ahora, sabemos que [math] L = e ^ {\ mathrm {ln} \ left (L \ right)} [/ math]

Por lo tanto, tenemos

[math] \ mathrm {ln} \ left (L \ right) = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n} \ mathrm {ln} \ left (\ frac {n!} { n ^ n} \ right) [/ math]

podemos escribir [math] \ frac {n!} {n ^ n} [/ math] como [math] \ frac {1 \ times 2 \ times 3 \ times… \ times n} {n \ times n \ times n \ times … \ times n} [/ math], bajo el producto logaritmo se convierte en una suma, así que tenemos

[matemáticas] \ mathrm {ln} \ left (L \ right) = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n} \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {ln} \ left (\ frac {i} {n} \ right) [/ math]

Ahora recuerda la definición de una integral definida como un límite de suma , tienes

[matemática] \ int \ limits_a ^ bf (t) \ mathrm {d} t = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {(b – a)} {n} \ displaystyle \ sum_ {i = 1 } ^ {n} f \ left (a + i \ frac {(b – a)} {n} \ right) [/ math]

Ahora, puede ver que si en la ecuación anterior reemplazamos [math] a = 0, b = 1, f (t) = \ mathrm {ln} (t) [/ math] obtenemos,

[matemáticas] \ mathrm {ln} \ left (L \ right) = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n} \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {ln} \ left (\ frac {i} {n} \ right) = \ int \ limits_0 ^ 1 \ mathrm {ln} (t) \ mathrm {d} t = -1 [/ math]

Por lo tanto, tenemos [matemáticas] L = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {n!} {N ^ n} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = e ^ {-1} [/ matemáticas]

Answer 2

* A2A *

Deje [math] \ displaystyle L = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {n!} {N ^ n} \ right) ^ {1 / n} [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ log L = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n} \ left (\ log \ frac {1} {n} + \ log \ frac {2} { n} + \ ldots + \ log \ frac {n} {n} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {r = 1} ^ {n} \ frac {1} {n} \ log \ frac {r} {n} [/ math]

Por la definición de integral definida como el límite de suma,
[matemáticas] \ displaystyle = \ int_ {0} ^ {1} \ log x dx = -1 [/ matemáticas]
Por lo tanto, [math] \ displaystyle L = e ^ {- 1} [/ math].

Answer 3

Aquí n es un entero no negativo (para definir n!).

para todos esos n,

[matemáticas] n! \ leq n ^ n [/ math]

[matemáticas] \ frac {n!} {n ^ n} \ leq 1 [/ matemáticas]

Tomando la enésima raíz en ambos lados

[matemática] \ izquierda [\ frac {n!} {n ^ n} \ derecha] ^ {1 / n} \ leq 1 ^ {1 / n} [/ matemática]

Por lo tanto, 1 es el límite superior de [matemáticas] \ izquierda [\ frac {n!} {N ^ n} \ derecha] ^ {1 / n} [/ matemáticas] es 1.

Al evaluar las raíces por separado del denominador y el numerador, lo mismo se puede escribir como [math] \ frac {n!} {N} ^ {1 / n} [/ math].

Aquí el numerador siempre es menor que n (denominador).

Por lo tanto, cuando n alcanza el infinito, la expresión llega a cero. Es el límite inferior.

Answer 4

Ya hay un par de buenas respuestas basadas en la integración, y recomiendo leerlas.

Una forma alternativa de abordar el problema es mediante el uso de la fórmula de Stirling. Dice [math] n! \ Approx \ sqrt {2 \ pi} \ sqrt n \ left (\ dfrac ne \ right) ^ n [/ math]. Más precisamente, el límite como [math] n \ a \ infty [/ math] de la relación de [math] n! [/ Math] a su aproximación [math] \ sqrt {2 \ pi} \ sqrt n \ left ( \ dfrac ne \ right) ^ n [/ math] es [math] 1 [/ math]. Por lo tanto,

[matemáticas] \ left (\ dfrac {n!} {n ^ n} \ right) ^ {1 / n} = \ dfrac {(n!) ^ {1 / n}} n [/ math]

[matemáticas] \ aprox \ dfrac {(\ sqrt {2 \ pi} \ sqrt n) ^ {1 / n} \ frac ne} n [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {(\ sqrt {2 \ pi} \ sqrt n) ^ {1 / n}} e [/ matemáticas]

Desde [math] (\ sqrt {2 \ pi}) ^ {1 / n} \ to1 [/ math] y [math] (\ sqrt n) ^ {1 / n} \ to 1 [/ math] (ver a continuación ), por lo tanto, el límite original es [matemática] 1 / e [/ matemática].

Para ver que [matemáticas] (\ sqrt n) ^ {1 / n} \ a 1 [/ matemáticas], tenga en cuenta que [matemáticas] (\ sqrt n) ^ {1 / n} = e ^ {(\ ln n) / n} [/ math] y [math] (\ ln n) / n \ a 0 [/ math]. Ese último límite es un límite bien conocido que la regla de L’Hôpital puede mostrar más fácilmente.

Answer 5

Denote L = Lim (n! / N ^ n) ^ (1 / n)
n-> ∞
logL = Lim (1 / n) log ((1.2… .n) / (nn… n))
n-> ∞
(Como (n! / N ^ n) = (1 / n) (2 / n) (3 / n) .. (n / n))
log (n! / n ^ n) = log (1 / n) + log (2 / n)
+ log (3 / n) + .. + log (n / n)
= ∑log (r / n) (suma en r = 1 a n)).
log L = Lim∑ (1 / n) log (r / n) (suma de r = 1 a n y n-> ∞).
Reemplazando r / n = x y ∑ (1 / n) por ∫dx obtenemos
log L = ∫log x dx (límite x = 0 a 1)
= x (logx-1) (límite x = 0 a 1)
= -1 = log (1 / e)
=> L = 1 / e

Answer 6

Espero que haya sido útil.