Cómo mostrar [matemáticas] \ frac {1 + (\ csc x \ tan y) ^ 2} {1 + (\ csc z \ tan y) ^ 2} = \ frac {1 + (\ cot x \ sin y) ^ 2} {1 + (\ cot z \ sin y) ^ 2} [/ math]

Answer 1

NOTA: Enfoque alternativo.

Considere 3 triángulos rectángulos rectos arbitrarios en el siguiente diagrama:

Ahora, sabemos que:

[matemáticas] \ csc (x) = \ frac {C} {A} \ quad \ quad \ tan (y) = \ frac {D} {E} [/ math]

[matemáticas] \ csc (z) = \ frac {I} {G} \ quad \ quad \ cot (x) = \ frac {B} {A} [/ math]

[matemática] \ sin (y) = \ frac {D} {F} \ quad \ quad \ cot (z) = \ frac {H} {G} [/ math]

Además, [matemáticas] A ^ 2 + B ^ 2 = C ^ 2 \ quad; \ quad D ^ 2 + E ^ 2 = F ^ 2 \ quad; \ quad G ^ 2 + H ^ 2 = I ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora,

[matemática] \ Grande {LHS = \ frac {1 + (\ frac {C ^ 2} {A ^ 2} * \ frac {D ^ 2} {E ^ 2})} {1 + (\ frac {I ^ 2} {G ^ 2} * \ frac {D ^ 2} {E ^ 2})}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ Grande {\ frac {1+ \ frac {C ^ 2D ^ 2} {A ^ 2E ^ 2}} {1+ \ frac {I ^ 2D ^ 2} {G ^ 2E ^ 2}}} [/matemáticas]

[matemática] = \ Grande {\ frac {G ^ 2E ^ 2 (A ^ 2E ^ 2 + C ^ 2D ^ 2)} {A ^ 2E ^ 2 (G ^ 2E ^ 2 + I ^ 2D ^ 2)}} [/ math] (Tomando LCM)

[matemática] = \ Grande {\ frac {G ^ 2 (A ^ 2E ^ 2 + C ^ 2D ^ 2)} {A ^ 2 (G ^ 2E ^ 2 + I ^ 2D ^ 2)}} [/ matemática] (Eliminando [matemáticas] E ^ 2 [/ matemáticas])

[matemáticas] = \ Grande {\ frac {G ^ 2 (A ^ 2E ^ 2 + (A ^ 2 + B ^ 2) D ^ 2)} {A ^ 2 (G ^ 2E ^ 2 + (G ^ 2 + H ^ 2) D ^ 2)}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ Grande {\ frac {G ^ 2 ((A ^ 2E ^ 2 + A ^ 2D ^ 2) + B ^ 2D ^ 2)} {A ^ 2 ((G ^ 2E ^ 2 + G ^ 2D ^ 2) + H ^ 2D ^ 2)}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ Large {\ frac {G ^ 2 (A ^ 2 (D ^ 2 + E ^ 2) + B ^ 2D ^ 2)} {A ^ 2 (G ^ 2 (D ^ 2 + E ^ 2 ) + H ^ 2D ^ 2)}} [/ matemáticas]

[matemática] = \ Grande {\ frac {G ^ 2 (A ^ 2F ^ 2 + B ^ 2D ^ 2)} {A ^ 2 (G ^ 2F ^ 2 + H ^ 2D ^ 2)}} [/ matemática]

[matemática] = \ Grande {\ frac {G ^ 2F ^ 2 (A ^ 2F ^ 2 + B ^ 2D ^ 2)} {A ^ 2F ^ 2 (G ^ 2F ^ 2 + H ^ 2D ^ 2)}} [/ math] (Multiplicando y dividiendo entre [math] F ^ 2 [/ math])

[matemáticas] = \ Large {\ frac {\ frac {A ^ 2F ^ 2 + B ^ 2D ^ 2} {A ^ 2F ^ 2}} {\ frac {G ^ 2F ^ 2 + H ^ 2D ^ 2} { G ^ 2F ^ 2}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ Grande {\ frac {1+ \ frac {B ^ 2D ^ 2} {A ^ 2F ^ 2}} {1+ \ frac {H ^ 2D ^ 2} {G ^ 2F ^ 2}}} [/matemáticas]

[matemáticas] = \ Grande {\ frac {1 + (\ frac {B} {A}) ^ 2 (\ frac {D} {F}) ^ 2} {1 + (\ frac {H} {G}) ^ 2 (\ frac {D} {F}) ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemática] = \ Grande {\ frac {1+ (cot (x) sin (y)) ^ 2} {1+ (cot (z) sin (y)) ^ 2} = RHS} [/ matemática]

Por lo tanto demostrado.

Answer 2

Considere el numerador de la expresión del lado izquierdo:

[matemáticas] 1 + (\ csc {x} \ tan {y}) ^ 2 = 1 + \ csc ^ 2x \ tan ^ 2y [/ matemáticas].

Usando [math] \ csc ^ 2x = 1 + \ cot ^ 2x [/ math], reescribimos esto como

[matemáticas] 1 + (1 + \ cot ^ 2x) \ tan ^ 2y = 1 + \ tan ^ 2y + \ cot ^ 2x \ tan ^ 2y [/ matemáticas]

Como [math] \ displaystyle \ tan ^ 2y = \ frac {\ sin ^ 2y} {1 – \ sin ^ 2y} [/ math], tenemos

[matemáticas] \ displaystyle 1 + \ tan ^ 2y + \ cot ^ 2x \ tan ^ 2y = \ frac {1 – \ sin ^ 2y + \ sin ^ 2y + \ cot ^ 2x \ sin ^ 2y} {1 – \ sin ^ 2y} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1 + (\ cot {x} \ sin {y}) ^ 2} {1 – \ sin ^ 2y} [/ matemáticas]

Tratamos el denominador de la expresión del lado izquierdo de manera similar para completar la prueba.

Answer 3

Los problemas de trigonometría se pueden resolver de muchas maneras. El punto básico para resolver la mayoría de estas igualdades son las 3 identidades. Tienes que aplicar cualquiera de esas identidades y obtienes tu respuesta.

Esta es una solución subjetiva. Para objetivos, omita esta parte.

Conti …

Solo objetivo:

En caso de preguntas objetivas, se le pedirá que encuentre RHS o se le preguntará si esta afirmación es verdadera o falsa.

Allí puede usar métodos de atajo. Como sustituir cualquier valor por x, y, z.

Si es cierto, entonces es universal y es cierto para cualquier valor. Si no es así, no lo es.

Por ejemplo, en este problema use y = 45o. Y verifique si hay dos conjuntos de valores para x y z. Eso asegurará su respuesta.

Espero que esto te ayudará.