Cómo resolver [math] \ sin ({\ cos {x}}) = x [/ math] if [math] -1 \ leq x \ leq 1 [/ math]

Answer 1

Intenta ver los límites de LHS y RHS.

1. Dado que cos (x) solo tomará valores en [-1,1] para cualquier valor de x, y dado sin (x) está aumentando monotónicamente en el rango [-1,1]; LHS está en el rango [-sin1, sin1]. Ingrese estos números en una calculadora, obtendrá [-.84, .84]. Bajo la restricción LHS = RHS, obtienes el rango de x: [-. 84, .84]
2. Conectemos el rango anterior de x en el LHS y veamos si puede reducirse aún más. cos (x) en el rango [-.84, .84] tiene un máximo en x = 0 y un mínimo en x = +. 84 y -.84. Por lo tanto, cos (x) está en el rango [cos (0.84) cos (0)] = [0.66,1]. Nuevamente, LHS = RHS implica que x está en el rango [sin (0.66) sin (1)] = [0.618,0.842].

En los pasos 1 y 2, hemos reducido el rango de x. Continuar con los pasos anteriores le dará la solución exacta.

El método anterior para resolver ecuaciones numéricamente se llama “Esquema de sustitución”. Sin embargo, la convergencia a una solución está garantizada solo si la ecuación g (x) = x es tal que | g ‘(x) | <1 para todos los valores de x que encuentre al iterar. Puede ver fácilmente que la condición anterior se cumple para la ecuación que planteó.

| (sin (c0s (x)) ‘| = | sin (x) * cos (cos (x) | <1 para todo x.

Ahora, tenga en cuenta que incluso si la ecuación que tiene no satisface la condición anterior en su forma dada, puede transformarla de manera que cumpla con el criterio.

Por ejemplo, para la ecuación x = tan (x) -4, g ‘(x) = sec ^ 2 (x)> 1. Puedes escribirlo como:

x = atan (x + 4). (Atan es inverso de la tangente). Ahora, g ‘(x) = 1 / (1+ (x + 4) ^ 2) <1 para todo x.

¡Fuera y fuera! 🙂

Answer 2

No hay otra forma de resolverlo, excepto gráficamente lo que ya ha hecho. Al dibujar un gráfico aproximado, puede saber cuántas soluciones hay, pero no hay una manera fácil de calcular la solución exacta.

(El mismo gráfico que se publicó en la pregunta. El gráfico y = x se puede trazar fácilmente. También se debe trazar sin (cosx).

[matemáticas] 0 \ leq cos (x) \ leq 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, como el seno es una función creciente,

[matemática] sin0 \ leq sin (cos (x)) \ leq sin1 [/ matemática].

Por lo tanto, conocemos el rango de valores de sin (x) y que tiene máximos en x = 0. En x = [matemáticas] \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas], cosx = 0 y, por lo tanto, sin (cosx) = 0. Por lo tanto, el gráfico anterior se puede trazar como un bosquejo aproximado y podemos decir que existe exactamente una solución para x y que está entre 0 y [matemática] \ frac {pi} {2} [/ matemática].

Para encontrar una solución exacta, requiere el uso de una computadora.