Este es el por qué:
La derivada de una función es su pendiente en un solo punto, pero no podemos calcularlo fácilmente, ya que encontraríamos [matemáticas] \ dfrac {f (x) -f (x)} {xx} = \ dfrac { 0} {0} [/ matemáticas]
En cambio, usamos límites para encontrar la derivada, como tal:
[matemáticas] f ‘(x) = \ lim \ limits_ {h \ a 0} \ dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} [/ matemáticas]
- Cómo integrar [matemáticas] \ int [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {e ^ x (x ^ 3 (x + 2) +8)} {(x + 2) ^ 2} dx [/ matemáticas]
- Necesita aprender cálculo, álgebra lineal, probabilidad y algoritmos para un curso de análisis. Solo tengo 1,5 meses para eso. Dame un plan de estudio enfocado?
- Cómo resolver [matemáticas] x ^ {3} = 4 \ sqrt {2} * (1-i) [/ matemáticas] en C
- Cómo insertar el símbolo de raíz cuadrada en Microsoft Word
- Cómo demostrar que [matemáticas] \ frac {\ cos A} {\ sin A + \ cos B} + \ frac {\ cos B} {\ sin B- \ cos A} = \ frac {\ cos A} {\ sin A- \ cos B} + \ frac {\ cos B} {\ sin B + \ cos A} [/ math]
Donde [math] f ‘(x) [/ math] es la derivada de [math] f (x) [/ math].
Eso está bien, pero ¿qué pasa con esos polinomios?
Primero, monomios. Es decir, [matemáticas] f (x) = x ^ n [/ matemáticas]. Podemos resolver la derivada de esta función en general:
[matemáticas] \ lim \ límites_ {h \ a 0} \ dfrac {(x + h) ^ {n} – (x) ^ {n}} {h} [/ matemáticas]
Recuerde que [matemáticas] (x + h) ^ {n} = \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} h ^ {nk} {n \ elegir k} = x ^ {n} + h (nx ^ {n-1} +…) [/ math] por la fórmula de expansión binomial. Los … términos no son muy importantes, como veremos.
Ahora, [matemáticas] f ‘(x) = \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ dfrac {x ^ {n} -x ^ {n} + h (nx ^ {n-1} +…)} { h} = \ lim \ limits_ {h \ a 0} \ dfrac {h (nx ^ {n-1} +…)} {h} = \ lim \ limits_ {h \ a 0} nx ^ {n-1} + h (…) = nx ^ {n-1} [/ matemática].
Entonces, la derivada de [matemática] x ^ {n} [/ matemática] es [matemática] nx ^ {n-1} [/ matemática].
Si [matemáticas] a (x) = b (x) + c (x) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] a ‘(x) = \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ dfrac {b (x + h) + c (x + h) -b (x) -c (x)} {h} = \ lim \ limits_ {h \ to 0} \ dfrac {b (x + h) -b (x)} { h} + \ lim \ limits_ {h \ a 0} \ dfrac {c (x + h) – c (x)} {h} = b ‘(x) + c’ (x) [/ math]. Entonces, la derivada de un polinomio es la suma de la derivada de cada monomio.
Estos juntos explican por qué la derivada se encuentra “quitando el poder”, por lo que responde a la pregunta de la pendiente.
¿Pero qué hay del área? El área bajo una curva se encuentra usando una integral. Podrías seguir la ruta de la definición de Riemann Sum de una integral, pero eso se vuelve muy tedioso muy rápidamente. En cambio, usaré el Teorema fundamental del cálculo, que establece:
[math] \ int f ‘(x) dx = f (x) + C [/ math], donde [math] C [/ math] es algo constante. Ahora, para encontrar la integral de un monomio, simplemente encontramos su derivada a la inversa. Ahora, [matemáticas] \ int x ^ {n} dx = \ dfrac {x ^ {n + 1}} {n + 1} + C [/ matemáticas], porque tomando la derivada de [matemáticas] \ dfrac {x ^ {n + 1}} {n + 1} + C [/ math] produce [math] x ^ {n} [/ math]. Llamamos a ese resultado una antiderivada.
Es por eso que el área se puede encontrar “agregando un grado” a un polinomio.