Si y = x ^ 3, x = 2,3, entonces, ¿cuál es el cambio en y cuando x cambia? ¿Usando derivados y diferenciación?

Answer 1

Esta es una buena pregunta con respecto a la comprensión del cambio normal en una función y el cambio en forma diferenciable de una función.

Como, el concepto de diferenciabilidad da medidas de pequeños cambios correspondientes a pequeños cambios en otra función. Prácticamente, si lo aplicamos para cambios grandes, la diferencia resulta ser considerablemente pequeña en comparación con la sustitución del valor normal en la función dada.

Como, en su pregunta, calculó que la diferencia es 19.

Pero, si colocamos valores después de diferenciar, entonces:

dy / dx = 3x ^ 2

Cuando x = 2, dy / dx = 12
Cuando x = 3, dy / dx = 27

Aquí la diferencia es 27-12 = 15.
Por lo tanto, claramente la sustitución de valores después de la diferenciación disminuye la diferencia, que también es la naturaleza básica de la diferenciación, ya que proporciona pequeños cambios correspondientes a pequeños cambios.

Answer 2

Para una función diferenciable y = f (x), solo podemos encontrar el cambio de y correspondiente a un cambio muy pequeño en x desde un punto dado (digamos) c. Esto se desprende de la definición de la derivada. f ‘(c) es el caso limitante del cambio de y en la escala del cambio en x alrededor de c, (es decir, como el cambio en tiende a 0.)
Por lo tanto, para un cambio muy pequeño en x, cerca de c, tenemos la relación,

(Cambio en y) = f ‘(c). (Cambio en y).
En realidad, esto es una aproximación. A medida que el cambio se hace mayor, esta relación da un resultado inexacto. En su ejemplo, el cambio en x es demasiado grande para dar el cambio correcto en y por esa relación. Espero que hayas entendido.