En general, ¿en qué circunstancias se agregaría un signo +/- delante de una raíz cuadrada?

Answer 1

Tienes la ecuación [matemáticas] g (y) = f (x) [/ matemáticas]. Lo que naturalmente desea hacer es aplicar [matemáticas] g ^ {- 1} [/ matemáticas] a ambos lados de la ecuación para obtener [matemáticas] g ^ {- 1} ((y)) = y = g ^ {- 1} (f (x)) [/ matemáticas].

Ese es un paso muy natural a tomar. Es el paso que das cuando tienes [matemáticas] 2y = 3x \ implica \ y = \ frac 32 x [/ matemáticas].

El problema en su ejemplo es que [math] g (y) = y ^ 4 [/ math] no tiene un inverso que funcione en todo su dominio. Su gráfico tiene forma de U, lo que nos dice que cada valor positivo en su rango puede provenir de dos valores diferentes en su dominio.

Entonces, ¿qué podemos hacer para solucionar el problema? Dividimos el dominio en dos partes.

Caso 1:

Suponga que [matemática] y [/ matemática] es negativa y [matemática] y ^ 4 = f (x) [/ matemática]. En este dominio restringido, la función “cuarta potencia” TIENE una inversa. El inverso es [matemática] g ^ {- 1} (y) = – \ sqrt [4] y [/ matemática]. Aplicando el inverso a ambos lados de la ecuación nos dice: [matemáticas] y = – \ sqrt [4] {f (x)} [/ matemáticas].

Caso 2:

Suponga que [matemática] y [/ matemática] no es negativa y [matemática] y ^ 4 = f (x) [/ matemática]. En este dominio restringido, una vez más, la función “cuarta potencia” TIENE una inversa. El inverso es [matemática] g ^ {- 1} (y) = \ sqrt [4] y [/ matemática]. Aplicando el inverso a ambos lados de la ecuación nos dice: [math] y = \ sqrt [4] {f (x)} [/ math].

Las reglas del álgebra no son arbitrarias. Siempre debe tener cuidado de que una función sea invertible antes de intentar usar su inverso para resolver una ecuación. Cuando no lo es, a veces puede dividir su dominio en algunas partes en las que la función es invertible y luego obtener múltiples soluciones, cada una de las cuales es válida en un conjunto particular. (Observe que la función real [matemática] g (y) = y ^ k [/ matemática] tiene un inverso en todo su dominio cuando [matemática] k [/ matemática] es impar, pero no cuando [matemática] k [/ matemática ] incluso.)

Answer 2

El signo [math] \ pm [/ math] se usa siempre que intentas invertir una potencia par (tomando la raíz cuadrada, cuarta raíz, sexta raíz, etc. de ambos lados), porque la inversa de una potencia par no es Una función, tiene dos salidas para cada entrada. El inverso de una potencia impar es una función, por lo que no se necesita ningún signo [math] \ pm [/ math].

Para una explicación rápida, ¿cuáles son las posibles soluciones reales a estas ecuaciones?

[matemáticas] x ^ {2} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {3} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {4} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {5} = 1 [/ matemáticas]

Esperemos que vea que las ecuaciones con poderes impares tenían una solución real: 1.

Los poderes pares tienen -1 y 1 como soluciones. Más generalmente, f (x) = f (-x) para estas funciones (la salida es la misma si la entrada es positiva o negativa), por lo que para cualquier salida dada hay dos entradas posibles, y son simplemente opuestos. Entonces, cuando tenemos una ecuación como [math] x ^ {2} = 1 [/ math] y raíz cuadrada en ambos lados, reconocemos que [math] \ sqrt {1} [/ math] es solo la mitad de la historia porque la raíz cuadrada no es un inverso verdadero. El inverso también debe incluir el opuesto de este inverso parcial: [math] – \ sqrt {1} [/ math]. Observe cómo si cuadramos eso, también obtenemos 1. Ahora estamos considerando todas las posibilidades.

Por otro lado, con una ecuación como [matemática] x ^ {3} = 1 [/ matemática] podemos sacar raíces en cubos a ambos lados y obtener la única solución real válida para esta ecuación. La raíz cúbica negativa sería igual a -1 si la cubáramos.