Esta es una pregunta divertida porque prueba lo que sabes sobre exponenciales y trigonométricos hiperbólicos. Ver para referencia: Trigonometría / Cosh, Sinh y Tanh
Primero, reescribimos la ecuación como
[matemáticas] x = e ^ {- y \ ln 10} -10 ^ {- 14} e ^ {y \ ln 10} * [/ matemáticas]
Luego, necesitamos encontrar [matemáticas] a, b [/ matemáticas] de modo que el lado derecho de * pueda escribirse como [matemáticas] a \ cosh u + b \ sinh u [/ matemáticas] para [matemáticas] u = -y \ ln 10 [/ matemáticas].
- ¿Cuál es la [matemática] \ int ^ {\ frac {\ pi} {2}} _ 0 \ dfrac {\ arctan (c \ sin \ theta)} {\ sin \ theta} \, d \ theta [/ math] aquí , [matemáticas] c \ in \ Re [/ matemáticas]?
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- Si [matemática] P_1, P_2,…, P_n [/ matemática] son polinomios en [matemática] x [/ matemática] cada uno con todos los coeficientes enteros de manera que [matemática] P_1 = P_1 ^ 2 + P_2 ^ 2 +… + P_n ^ 2, [/ math] ¿cómo muestro que [math] P_1 = 1 [/ math] y [math] P_2 = P_3 =… = P_n = 0 [/ math]?
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Expansión da
[matemáticas] a \ cosh u + b \ sinh u = 0.5 (a + b) e ^ u + 0.5 (ab) e ^ {- u} [/ math]
Así que necesitamos
[matemática] 0.5 ([/ matemática] [matemática] a + b) = 1 [/ matemática] y [matemática] 0.5 (a [/ matemática] [matemática] -b) = – 10 ^ {- 14} [/ matemática ]
Encontramos eso
[matemáticas] a = 1-10 ^ {- 14} [/ matemáticas]
[matemáticas] b = 1 + 10 ^ {- 14} [/ matemáticas]
Ahora la ecuación original tiene la forma:
[matemáticas] a \ cosh u + b \ sinh u = x [/ matemáticas] con [matemáticas] | a | <b [/ matemáticas]
Usando una identidad en la referencia, podemos escribir esto como
[matemáticas] x = \ sqrt {b ^ 2-a ^ 2} \ sinh (u + d) [/ matemáticas] con [matemáticas] d = \ tanh ^ {- 1} \ frac ab [/ matemáticas]
Entonces:
[matemática] u = \ sinh ^ {- 1} \ izquierda (\ frac x {\ sqrt b ^ 2-a ^ 2} \ derecha) -d [/ matemática]
Deshacer las diferentes sustituciones da
[matemáticas] y \ ln 10 = \ tanh ^ {- 1} \ frac {10 ^ 7-10 ^ {- 7}} {10 ^ 7 + 10 ^ {- 7}} – \ sinh ^ {- 1} \ left (2.5x \ times 10 ^ {13} \ right) [/ math]
El primer término en el lado derecho se simplifica a [matemáticas] 7 \ ln 10 [/ matemáticas]. Entonces finalmente tenemos
[matemáticas] y = 7- \ frac 1 {\ ln 10} \ sinh ^ {- 1} \ left (2.5x \ times 10 ^ {13} \ right) [/ math]
Descargo de responsabilidad: no verifiqué mi trabajo, pero el método es sólido. Wolfram da una respuesta escrita solo en términos de registros, para que pueda verificar si es equivalente.
Entrada de Wolfram: inversa 10 ^ (- x) -10 ^ (x-14)
Después de pensarlo, aquí hay una solución más simple basada en el hecho de que la ecuación original es cuadrática en la variable [math] 10 ^ {y} [/ math].
Multiplique toda la ecuación por [matemáticas] 10 ^ {y + 14} [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ left (10 ^ {y} \ right) ^ 2 + 10 ^ {14} x \ cdot 10 ^ {y} = 10 ^ {14} [/ math]
Luego completa el cuadrado agregando un término a ambos lados:
[matemática] \ left (10 ^ {y} \ right) ^ 2 + 10 ^ {14} x \ cdot 10 ^ {y} +25 \ cdot10 ^ {26} x ^ 2 = 10 ^ {14} +25 \ cdot 10 ^ {26} x ^ 2 [/ matemáticas]
Entonces factor:
[matemáticas] \ left (10 ^ {y} + 5x \ cdot 10 ^ {13} \ right) ^ 2 = 10 ^ {14} +25 \ cdot 10 ^ {26} x ^ 2 [/ math]
Ahora, dado que ambos lados no son negativos, equiparamos sus raíces cuadradas (teniendo en cuenta que uno podría ser igual al negativo de la raíz cuadrada del otro):
[matemáticas] 10 ^ {y} + 5x \ cdot 10 ^ {13} = 10 ^ 7 \ pm \ sqrt {1 + 25 \ cdot 10 ^ {12} x ^ 2} [/ matemáticas]
Ahora resta:
[matemáticas] 10 ^ {y} = 10 ^ 7 \ pm \ sqrt {1 + 25 \ cdot 10 ^ {12} x ^ 2} – 5x \ cdot 10 ^ {13} [/ matemáticas]
Ahora, suponiendo que el lado derecho sea positivo, podemos tomar la base de registro diez de ambos lados:
[matemáticas] y = 7 + \ log_ {10} \ left (\ pm \ sqrt {1 + 25 \ cdot 10 ^ {12} x ^ 2} – 5x \ cdot 10 ^ {6} \ right) [/ math]
Si [math] x <0 [/ math], solo la raíz cuadrada positiva conduce a una respuesta positiva (porque el término de la raíz cuadrada es de mayor magnitud que el otro término dentro del registro. En este caso, podemos reescribirlo como :
[matemáticas] y = 7 + \ log_ {10} \ left (5 \ cdot 10 ^ {6} | x | \ right) + \ log_ {10} \ left (\ sqrt {1+ \ frac {1} {25 \ cdot 10 ^ {12} x ^ 2}} + 1 \ right) [/ math]
A menos que [matemáticas] | x | \ ll 1 [/ math], esto es casi equivalente a:
[matemáticas] y = 7 + \ log_ {10} 2+ \ log_ {10} \ left (5 \ cdot 10 ^ {6} | x | \ right) [/ math]
Alguna simplificación da:
[matemáticas] y = 14 + \ log_ {10} | x | [/matemáticas]
Si [math] x \ ge 0 [/ math], nuevamente, la raíz cuadrada positiva es la única que da un resultado real. Podemos reescribirlo como:
[matemáticas] y = 7 + \ log_ {10} \ left (5x \ cdot 10 ^ {6} \ right) + \ log_ {10} \ left (\ sqrt {1+ \ frac 1 {25 \ cdot 10 ^ { 12} x ^ 2}} – 1 \ derecha) [/ matemáticas]
De nuevo, a menos que [matemáticas] | x | \ ll 1 [/ math], esto es casi equivalente a:
[matemáticas] y \ aprox 7+ \ log_ {10} \ left (5x \ cdot 10 ^ {6} \ right) – \ log_ {10} \ left (5 \ cdot 10 ^ {13} x ^ 2 \ right) [/matemáticas]
Alguna simplificación da:
[matemáticas] y \ aprox- \ log_ {10} x [/ matemáticas]
(Una vez más, deberías verificar el álgebra ya que hice esto rápidamente, con muchas copias / pegados. Es muy probable que haya cometido un error, pero el método es correcto. Sospecho que este es el enfoque utilizado por Wolfram).