Entonces tenemos que [math] 7x \ equiv1 (mod \: 31) [/ math]
El inverso de un entero [matemático] a [/ matemático] módulo [matemático] m [/ matemático] es un entero (no exclusivo) [matemático] b [/ matemático] tal que [matemático] a * b \ equiv1 (mod \: m) [/ matemáticas]
Entonces vemos que si [matemática] a = 7 [/ matemática] y [matemática] m = 31 [/ matemática], entonces una opción posible para [matemática] b [/ matemática] es [matemática] b = 9 [/ matemática] porque [matemáticas] 7 * 9 = 63 \ equiv1 (mod \: 31) [/ matemáticas]
¿Porque es esto importante? Bueno, sabemos que si [matemática] a \ equiv b (mod \: m) [/ matemática] entonces [matemática] ac \ equiv bc (mod \: m) [/ matemática] donde [matemática] c [/ matemática] es un entero
- ¿Cuál es el valor de [matemáticas] x [/ matemáticas] si [matemáticas] 4 ^ {x} -3 ^ {x- \ frac {1} {2}} = 3 ^ {x + \ frac {1} {2} } -2 ^ {2x-1} [/ matemáticas]?
- Cómo integrar [matemáticas] \ exp (x) \ cdot \ ln (x) [/ matemáticas]
- Cómo resolver [matemática] (x ^ 2 -xy) \ frac {dy} {dx} + y ^ 2 = 0 [/ matemática] con valores iniciales [matemática] x = e [/ matemática], [matemática] y = e [/ matemáticas]
- ¿Cuál es el dominio y el rango de f (x) = (2x + 1) / (2x-1)?
- Si [math] p (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ math] sea un polinomio tal que [math] p (x) [/ math] tome valores reales para [math] x [/ math] real y valores no reales para no reales [matemáticas] x [/ matemáticas], ¿cómo pruebo que [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas]?
Esto significa que podemos multiplicar dos lados de una congruencia por una constante y aún preservar la congruencia.
En este caso, [matemáticas] c = 9 [/ matemáticas]
Entonces obtenemos:
[matemáticas] 9 * 7x \ equiv 9 * 1 (mod \: 31) [/ matemáticas]
Usando el hecho de que [math] 9 [/ math] es un inverso de [math] 7 (mod \: 31) [/ math] produce:
[matemáticas] x \ equiv 9 (mod \: 31) [/ matemáticas]
Dado que [math] a \ equiv b (mod \: c) \ iff c | ab \ rightarrow ck = ab [/ math] para [math] k \ in \ Z [/ math], vemos que
[matemática] x \ equiv 9 (mod \: 31) \ rightarrow 31 | (x-9) \ rightarrow 31k = x-9 [/ math]
De esto concluimos que [matemáticas] x = 31k + 9 [/ matemáticas] da el conjunto de enteros que son las soluciones de esta congruencia
Prueba de que si [math] a \ equiv b (mod \: m) [/ math] entonces [math] ac \ equiv bc (mod \: m) [/ math] para un número entero [math] c [/ math]
[matemáticas] a \ equiv b (mod \: m) \ iff m | (ab) \ rightarrow ms = ab [/ math] para [math] s \ in \ Z [/ math]
Ahora multiplicamos ambos lados en la igualdad anterior por [math] c [/ math] que produce:
[matemáticas] msc = (ab) c = ac-bc [/ matemáticas]
Ahora [math] sc \ in \ Z [/ math], entonces concluimos que:
[matemáticas] m | ac-bc [/ matemáticas]
Lo que por definición implica que:
[math] ac \ equiv bc (mod \: m) [/ math] QED