Cómo resolver [matemática] (x ^ 2 -xy) \ frac {dy} {dx} + y ^ 2 = 0 [/ matemática] con valores iniciales [matemática] x = e [/ matemática], [matemática] y = e [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ {2} -xy) \ frac {dy} {dx} + y ^ {2} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {y ^ {2}} {xy-x ^ {2}} [/ matemáticas]

# Multiplica y divide RHS por x [matemáticas] ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {y ^ {2} / x ^ {2}} {y / x-1} [/ matemáticas]

# Deje y / x = t;

# [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = t + x \ frac {dt} {dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] t + x \ frac {dt} {dx} = \ frac {t ^ {2}} {t-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ frac {dt} {dx} = \ frac {t} {t-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ frac {t-1} {t} dt = \ int \ frac {dx} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int 1- \ frac {1} {t} dt = \ int \ frac {dx} {x} [/ matemáticas]

t-ln (t) = ln (x) + c

t = ln (tx) + c

#sustituye t = y / x;

[matemáticas] \ frac {y} {x} = lny + c [/ matemáticas]

# cuando x = e, y = e

# 1 = 1 + c

# c = 0

[matemáticas] \ frac {y} {x} = lny [/ matemáticas]

y = xln (y)

Espero que ayude 🙂

La primera pista es que dividir la ecuación entre [math] y ^ 2 [/ math] produce una expresión que casi solo depende de [math] x / y [/ math]:

[matemáticas] \ left (\ left (\ frac xy \ right) ^ 2 – \ frac xy \ right) \, \ frac {dy} {dx} + 1 = 0 \ ,. [/ math]

o

[matemática] \ left (\ left (\ frac xy \ right) ^ 2 – \ frac xy \ right) \, dy + dx = 0 \ ,. [/ math] (1)

Esto es muy bueno, pero ahora nuestra expresión depende de [matemáticas] x / y [/ matemáticas], [matemáticas] dx [/ matemáticas] y [matemáticas] dy [/ matemáticas]. ¿Podemos reemplazar uno de los diferenciales por [matemáticas] d (x / y) [/ matemáticas]? [1] Tenemos

[matemáticas] d (x / y) = \ frac {dx} y – \ frac {x \, dy} {y ^ 2} \ ,, [/ matemáticas]

que es solo [matemática] 1 / a [/ matemática] veces los últimos dos términos en nuestra ecuación (1)! Entonces la ecuación se convierte

[matemática] \ izquierda (\ frac xy \ derecha) ^ 2 \, dy + y \, d (x / y) = 0 \ ,, [/ matemática]

o, si definimos [matemáticas] u = \ frac xy [/ matemáticas],

[matemáticas] u ^ 2 \, dy + y \, du = 0 \ ,. [/ matemáticas] (2)

Ahora, esto es fácil de resolver separando las variables: divida todo entre [math] yu ^ 2 [/ math] e integre. Obtenemos

[matemáticas] y = C e ^ {1 / u} = C e ^ {y / x} \ ,, [/ matemáticas]

donde [math] C [/ math] es una constante de integración. Esta es una ecuación implícita (ya que [math] y [/ math] aparece en ambos lados y [math] x [/ math] aparece dentro de una función), pero podemos resolver para que [math] x [/ math] obtenga

[matemáticas] x = \ frac y {\ log y – \ log C} \ ,, [/ math]

donde [math] \ log [/ math] es el logaritmo natural. Tenga en cuenta que, aunque esto puede invertirse para obtener [math] y (x) [/ math], la expresión correspondiente no puede escribirse en una forma cerrada que use solo las funciones elementales (como registros, exponenciales, potencias, etc. . ) Aún así, podemos imponer nuestra restricción, que [matemática] x = e [/ matemática] cuando [matemática] y = e [/ matemática], para obtener esa [matemática] C = 1 [/ matemática], y así

[matemáticas] x = \ frac y {\ log y} \ ,. [/ matemáticas]

[1] Estoy usando una interpretación tradicional de los diferenciales [math] dx [/ math], [math] dy [/ math] como números infinitesimales. Esto es muy común en física y hace que sea mucho más fácil trabajar con algunas ecuaciones diferenciales, pero generalmente se hace de manera no rigurosa, como hice aquí. Siempre es una buena idea verificar el resultado que obtienes con este tipo de método al volver a conectarlo a la ecuación original.