¿Cuál es el dominio y el rango de f (x) = (2x + 1) / (2x-1)?

Answer 1

La respuesta a esta pregunta depende en gran medida del contexto. Por ahora, abordaré el tema del dominio de [math] f [/ math]. Tal vez más tarde, discutiré su rango, pero hasta que aclaremos el contexto y el dominio, será bastante inútil discutir el rango.

1. Si la expresión dada pretende describir una relación [matemática] f [/ matemática] cuyo gráfico es un subconjunto del producto cartesiano de dos copias de la línea real, entonces el dominio de [matemática] f [/ matemática] es un subconjunto del conjunto de todos los números reales excepto [matemática] 1/2 [/ matemática]. De hecho, el dominio de [math] f [/ math] podría ser cualquier subconjunto de la línea real, y el problema está mal planteado, en el sentido de que no hay suficiente información para determinar qué subconjunto es el dominio de [matemáticas] f [/ matemáticas].
2. Si el autor tenía la intención de preguntar “¿Cuál es el mayor dominio y rango posible de [matemáticas] f (x) = (2x + 1) / (2x-1) [/ matemáticas], suponiendo que [matemáticas] f [/ matemáticas] es una función de valor real de una variable real? ”, entonces la única respuesta correcta sería que el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto [matemática] 1/2 [/ matemática].
3. Si la expresión dada pretende describir una relación [matemática] f [/ matemática] cuya gráfica es un subconjunto del producto cartesiano de dos copias del plano complejo, entonces el dominio de [matemática] f [/ matemática] es un subconjunto del conjunto de todos los números complejos excepto [matemática] 1/2 [/ matemática]. De hecho, el dominio de [math] f [/ math] podría ser cualquier subconjunto del plano complejo, y el problema está mal planteado, en el sentido de que no hay suficiente información para determinar qué subconjunto es el dominio de [matemáticas] f [/ matemáticas].
4. Si el autor tenía la intención de preguntar “¿Cuál es el mayor dominio y rango posible de [matemáticas] f (x) = (2x + 1) / (2x-1) [/ matemáticas], suponiendo que [matemáticas] f [/ matemáticas] es una función de valor complejo de una variable compleja? ”, entonces la única respuesta correcta sería que el dominio es el conjunto de todos los números complejos excepto [matemática] 1/2 [/ matemática].
5. Si la expresión dada pretende describir una relación [matemática] f [/ matemática] cuya gráfica es un subconjunto del producto cartesiano de dos copias de la línea racional, entonces el dominio de [matemática] f [/ matemática] es un subconjunto del conjunto de todos los números racionales excepto [matemática] 1/2 [/ matemática]. De hecho, el dominio de [math] f [/ math] podría ser cualquier subconjunto de la línea racional, y el problema está mal planteado, en el sentido de que no hay suficiente información dada para determinar qué subconjunto es el dominio de [matemáticas] f [/ matemáticas].
6. Si el autor tenía la intención de preguntar “¿Cuál es el mayor dominio y rango posible de [matemáticas] f (x) = (2x + 1) / (2x-1) [/ matemáticas], suponiendo que [matemáticas] f [/ matemáticas] es una función de valor racional de una variable racional? ”, entonces la única respuesta correcta sería que el dominio es el conjunto de todos los números racionales excepto [matemática] 1/2 [/ matemática].
7. Si la expresión dada pretende describir una relación [matemática] f [/ matemática] cuya gráfica es un subconjunto del producto cartesiano de dos copias del campo de tres elementos, [matemática] \ {0, 1, 2 \} [/ matemática] entonces el dominio de f es cualquier subconjunto del conjunto [matemática] \ [/ matemática] [matemática] {0, 1 \} [/ matemática], y el problema está mal planteado, en el sentido de que no existe se proporciona suficiente información para determinar qué subconjunto es el dominio de [math] f [/ math].
8. Si el autor tenía la intención de preguntar “¿Cuál es el mayor dominio y rango posible de [math] f (x) = (2x + 1) / (2x-1) [/ math], suponiendo que f es un [math] \ mathbb {Z} _3 [/ math] -valued function of one [math] \ mathbb {Z} _3 [/ math] variable? ”, Entonces la única respuesta correcta sería que el dominio es el conjunto de todos los miembros del conjunto [ matemáticas] F_3 [/ matemáticas] excepto [matemáticas] 2 [/ matemáticas].
9. Si la expresión dada pretende describir una relación [matemática] f [/ matemática] cuyo gráfico es un subconjunto del producto cartesiano de dos copias de un campo, [matemática] \ mathbb {F} [/ matemática] de la característica 2, entonces el dominio de [math] f [/ math] es cualquier subconjunto del conjunto [math] F [/ math], y el problema está mal planteado, en el sentido de que no hay suficiente información para determinar qué subconjunto es el dominio de [math] f [/ math].
10. Si el autor tenía la intención de preguntar “¿Cuál es el mayor dominio y rango posible de [math] f (x) = (2x + 1) / (2x-1) [/ math], suponiendo que f es un [math] \ mathbb {F} [/ math] -valued function of one [math] \ mathbb {F} [/ math] variable? ”Donde \ mathbb {F} es un campo prescrito que no tiene la característica [math] 2 [/ math], entonces la única respuesta correcta sería que el dominio es el conjunto de todos los miembros del conjunto [math] F [/ math].
11. Si la expresión dada pretende describir una relación [matemática] f [/ matemática] cuya gráfica es un subconjunto del producto cartesiano de los números reales con los números complejos, entonces el dominio de [matemática] f [/ matemática] es cualquiera conjunto de números reales que no incluyen el número [matemática] 1/2 [/ matemática], y el problema está mal planteado, en el sentido de que no se proporciona suficiente información para determinar qué subconjunto es el dominio de [matemática] f [/matemáticas].
12. Si el autor tenía la intención de preguntar “¿Cuál es el mayor dominio y rango posible de [matemáticas] f (x) = (2x + 1) / (2x-1) [/ matemáticas], suponiendo que [matemáticas] f [/ matemáticas] es una función de valor complejo de una variable real? ”, entonces la única respuesta correcta sería que el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto [matemática] 1/2 [/ matemática].

Pregunta como la vi originalmente:

“¿Cuál es el dominio y el rango de f (x) = (2x + 1) / (2x-1)?”

Answer 2

Dominio significa un conjunto de todos los valores “válidos” de x para la función. Obviamente, la división por cero no está definida en matemáticas.

Entonces, resolvemos por

\ begin {matrix}

0 & = & \ frac {2x + 1} {2x-1} \\

2x-1 & = & (2x + 1) (2x-1) \\

2x-1 & = & 4x ^ 2-1 \\

2x & = 4x ^ 2 & \\

0 & = 4x ^ 2 – 2x y \\

\ end {matriz}

Usamos la fórmula cuadrática, sabemos que la ecuación anterior es 0 cuando x = .5 y cuando x = 0.

En inglés simple: El dominio es el conjunto de números reales para donde x no es igual a 0 o .5

En matemáticas

\ forall x \ epsilon {R}, D = {x | x \ neq 0; x \ neq .5}

El rango en inglés simple es el conjunto de todos los números reales donde y no es igual a 0.

\ forall y \ epsilon {R}, F = {y | x \ neq 0}

Answer 3

Gracias por el A2A!

Usaré la notación matemática [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math] en mi respuesta, lo que significa que “[math] x [/ math] está en el conjunto de valores reales”. [math] \ in [/ math] significa “en el conjunto de”, y [math] \ mathbb {R} [/ math] significa “valores reales”.

Primero, el dominio es cualquier valor que [math] x [/ math] puede tomar que dará una respuesta definida a la función [math] f (x) [/ math] . En este caso, cualquier valor [matemático] x [/ matemático] que no sea [matemático] \ frac {1} {2} [/ matemático] daría una respuesta definida ([matemático] x [/ matemático] no puede ser igual a [matemático] ] \ frac {1} {2} [/ math] porque el denominador sería [math] 0 [/ math], y no se puede dividir entre [math] 0 [/ math]). Entonces nuestro dominio es [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math], cuando [math] x \ neq \ frac {1} {2} [/ math].

El rango es el conjunto de valores que [math] f (x) [/ math] puede tomar para todos los valores [math] x [/ math] en el dominio. Como nuestro dominio es [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math], cuando [math] x \ neq \ frac {1} {2} [/ math], [math] f (x) [/ math ] puede tomar cualquier valor que no sea [math] \ frac {1} {0} [/ math]. Como tal, [matemática] f ([/ matemática] [matemática] x) \ in \ mathbb {R} [/ matemática], porque no hay ningún valor que [matemática] f (x) [/ matemática] no pueda tomar.

¿Puede [math] f (x) [/ math] tomar el valor de [math] \ pm [/ math] [math] 20,000 [/ math]? Sip.

[matemáticas] \ pm 20,000 = \ frac {2x + 1} {2x-1} [/ matemáticas], [matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] \ pm 20,000) (2x-1) = 2x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ pm 40,000x \ mp 20,000 = 2x + 1 [/ matemáticas]

Esto es solucionable, por lo que hemos demostrado que [math] f (x) [/ math] puede tomar un número tan ridículo como [math] \ pm20,000 [/ math]. Lo mismo funcionaría para [math] \ frac {1} {20,000} [/ math] también. El único momento en que [math] f (x) [/ math] no está definido es cuando [math] x = \ frac {1} {2} [/ math], que está fuera de nuestro dominio.

Aquí está el gráfico de la función:

Como puede ver, [math] x \ neq \ frac {1} {2} [/ math] y [math] f (x) \ in \ mathbb {R} [/ math].

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EDITAR: Para lo anterior, olvidé la asíntota en [math] f (x) [/ math] [math] = 1 [/ math], lo que significa que el rango es en realidad [math] f (x) \ in \ mathbb {R} [/ math] y [math] f (x) \ neq 1 [/ math]. Te lo explicaré ahora.

[matemática] \ frac {2x + 1} {2x-1} = \ frac {2} {2x-1} + 1 [/ matemática]. Esto nunca puede ser igual a [matemática] 1 [/ matemática], porque entonces [matemática] \ frac {2} {2x-1} = 0 [/ matemática], lo cual es imposible. Por lo tanto, [matemáticas] f (x) \ neq 1 [/ matemáticas].

¡Gracias a Darryl Nester en los comentarios por señalarlo!

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Por una pregunta como,

Encuentre el dominio y el rango de [math] f (x) = | x | [/ math] para el cual [math] f (x) [/ math] es un número real.

Entonces nuestro dominio es cualquier valor que [math] x [/ math] pueda tomar. En este caso, para que [math] f (x) [/ math] sea válido, [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math], porque podemos encontrar el módulo de cualquier cosa . Sin embargo, el rango no puede ser un número negativo, por lo que nuestro rango es [math] f (x) \ geq 0 [/ math].

¡Espero que esto haya ayudado con cualquier problema futuro también!

Answer 4

Dominio: (-infinito, 1/2) U (1/2, infinito)
Rango: (infinito, infinito)