Si [math] p (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ math] sea un polinomio tal que [math] p (x) [/ math] tome valores reales para [math] x [/ math] real y valores no reales para no reales [matemáticas] x [/ matemáticas], ¿cómo pruebo que [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Sea x = u + iv [matemáticas] x = u + iv [/ matemáticas]. Entonces

p (x) = a (u + iv) 2 + b (u + iv) + c [matemáticas] p (x) = a (u + iv) 2 + b (u + iv) + c [/ matemáticas]

= (a (u2 − v2) + ub + c) + i (bv + 2auv) [matemáticas] = (a (u2 − v2) + ub + c) + i (bv + 2auv) [/ matemáticas]

La condición es que p (x) [matemática] p (x) [/ matemática] toma valores reales para real x [matemática] x [/ matemática] y valores no reales para no real x [matemática] x [/ matemática ]

x [matemática] x [/ matemática] es real cuando v = 0 [matemática] v = 0 [/ matemática] yp (x) [matemática] p (x) [/ matemática] es real cuando bv + 2auv [matemática] bv + 2auv [/ math] es cero.

Significa que la condición dada para mantener bv + 2auv [matemática] bv + 2auv [/ matemática] no debe ser cero si y solo si v [matemática] v [/ matemática] no es cero. Vemos que esta condición no se cumple cuando una [matemática] a [/ matemática] no es cero.

Si a [math] a [/ math] no es cero, entonces para u = −b2a, bv + 2auv [math] u = −b2a, bv + 2auv [/ math] siempre es cero, cualquiera sea el valor de v [ matemáticas] v [/ matemáticas].

Por lo tanto, a [math] a [/ math] debe ser igual a cero.

Answer 2

Deje [math] x = u + iv [/ math]. Entonces

[matemáticas] p (x) = a (u + iv) ^ 2 + b (u + iv) + c [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a (u ^ 2-v ^ 2) + ub + c) + i (bv + 2auv) [/ matemáticas]

La condición es que [matemática] p (x) [/ matemática] toma valores reales para real [matemática] x [/ matemática] y valores no reales para no real [matemática] x [/ matemática].

[matemática] x [/ matemática] es real cuando [matemática] v = 0 [/ matemática] y [matemática] p (x) [/ matemática] es real cuando [matemática] bv + 2auv [/ matemática] es cero.

Significa que la condición dada para mantener [math] bv + 2auv [/ math] no debe ser cero si y solo si [math] v [/ math] no es cero. Vemos que esta condición no se cumple cuando [math] a [/ math] no es cero.

Si [math] a [/ math] no es cero, entonces para [math] u = – \ frac {b} {2a}, bv + 2auv [/ math] siempre es cero, cualquiera sea el valor de [math] v [/matemáticas].

Por lo tanto, [math] a [/ math] debe ser igual a cero.

Answer 3

poner x = 0, c es real.

poner x = 1, a + b + c es real, restar real c, entonces a + b es real.

poner x = i, p (x) = -a + bi + c

poner x = -1, ab + c es real, entonces ab es real.

sumando dos números reales, (a + b) + (ab) = 2a es real, entonces a es un número real.

poner x = -i, p (x) = -a-bi + c

ya que a, c, real, arriba implica que b es un número real.

poner x = 1 + i, p (x) = a (1 + 2i -1) + b (1 + i) + c = b + c + i (2a + b)

x = re ^ (it)

p (x) = ar ^ 2 e ^ (2it) + bre ^ (it) + c

= ar ^ 2 [cos (2t) + i sin (2t))] + br [cos (t) + i sin (t)] + c

= términos reales + i [ar ^ 2 sin (2t) + br sin (t)]

= términos reales + i [ar ^ 2 * 2 sin (t) costo (t) + br sin (t)]

= términos reales + i [rsint (2 ar costo (t) + b)]

si a = / = 0, es decir, a no es igual a cero, t st costo (t) = -b / 2ar para que r sea menor que 1, hará que el paréntesis llegue a cero.

Por lo tanto, tenemos un valor real para un número no real, una contradicción.

Visualmente, c es solo una traslación, b estirará el vector complejo y ax ^ 2 está destinado a duplicar el ángulo en plano complejo y estirar o contraer. un ángulo adecuado pondrá el vector en línea real, contradiciendo así.