¿Qué caracteriza a las funciones lineales?

Answer 1

La caracterización principal de las funciones lineales es que operar en la suma de las entradas da la suma de las salidas, y operar en una entrada escalada da como resultado una salida escalada del mismo tamaño: por ejemplo, y = 4 x da

[matemáticas] 4 (a + b) = 4a + 4b [/ matemáticas] ,

por la distributividad de la multiplicación, y [matemáticas] 4 (2x) = 2 \ cdot 4x [/ matemáticas] (conmutatividad de la multiplicación). De hecho, la linealidad es una generalización de esta distributividad / conmutatividad de la multiplicación a operaciones en dimensiones superiores.

Otra caracterización (que también funciona para funciones de la forma y = ax + b , a menudo llamada “lineal” porque su gráfico se ve como una línea recta, pero no es, estrictamente hablando por la primera explicación, realmente lineal: no toma 0 a 0) es:

Un cambio en el tamaño de la entrada siempre da como resultado un cambio proporcional en el tamaño de la salida, y este factor de proporcionalidad es el mismo, independientemente de la entrada que elija .

Por ejemplo, si

[matemáticas] y = 4x [/ matemáticas] ,

entonces un cambio en la entrada (digamos, por 1), siempre resulta en un cambio en la salida, 4 veces mayor. Entonces, si x = 5,

[matemáticas] 20 = 4 \ cdot 5 [/ matemáticas].

Digamos que modificamos el 5 agregando 1. Luego, el resultado cambia al agregar 4:

[matemáticas] 20 + 4 = 4 \ cdot (5 + 1) [/ matemáticas].

Si modificamos el 5 por 2, el resultado cambia al agregar 8 (que sigue siendo 4 veces el cambio en la entrada, 2):

[matemáticas] 20 + 8 = 4 \ cdot (5 + 2) [/ matemáticas].

Para enfatizar el contraste, intentemos algo que no sea lineal:

[matemáticas] y = x \ cdot x = x ^ 2 [/ matemáticas].

Di x = 5 de nuevo. Entonces

[matemáticas] 25 = 5 ^ 2 [/ matemáticas].

Si cambiamos la entrada por 1, entonces el cambio en la salida es 11:

[matemáticas] (5 + 1) ^ 2 = 6 ^ 2 = 36 = 25 + 11 [/ matemáticas].

Pero si cambiamos la entrada por 2, entonces el cambio en la salida es 24:

[matemáticas] (5 + 2) ^ 2 = 7 ^ 2 = 49 = 25 + 24 [/ matemáticas].

Pero la proporcionalidad no era la misma:

cambio en salida / cambio en entrada =

[matemáticas] 11/1 = 11 [/ matemáticas] (en el primer caso), y

[matemáticas] 24/2 = \ mathbf {12} [/ matemáticas] (en el segundo caso) que no es el mismo factor!

Por lo tanto, [math] y = x ^ 2 [/ math] no es lineal, mientras que [math] y = 4x [/ math] sí lo es.