Cómo integrar [matemáticas] \ exp (x) \ cdot \ ln (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int {e ^ x \ ln | x |} \ mathrm {d} x [/ math]

Partes,

[matemáticas] e ^ x \ ln | x | – \ displaystyle \ \ int {\ dfrac {e ^ x} {x}} \ mathrm {d} x [/ math]

El integrando a la izquierda no es elemental, por lo que utilizamos la serie Taylor para [matemáticas] \ dfrac {e ^ x} {x}, [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int {\ dfrac {1} {x} +1+ \ dfrac {x} {2} + \ dfrac {x ^ 2} {6} +…} \ mathrm {d} x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln | x | + x + \ dfrac {x ^ 2} {4} + \ dfrac {x ^ 3} {18} +…. + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln | x | + \ displaystyle \ \ sum_ {n = 1} ^ {n = \ infty} {\ dfrac {x ^ n} {n! n}} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ x \ ln | x | – \ left (\ ln | x | + \ displaystyle \ \ sum_ {n = 1} ^ {n = \ infty} {\ dfrac {x ^ n} {n! n }} \ right) + C [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int {e ^ x \ ln | x |} \ mathrm {d} x [/ math]

Gracias por el A2A

Comencemos usando la regla LIATE.

Deje que [math] u = \ ln x \ implica du = \ dfrac {1} {x} dx [/ math]

y [matemáticas] dv = e ^ x dx \ implica v = e ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int {e ^ x \ ln x dx} = e ^ x \ ln x – \ int {\ dfrac {e ^ x} {x}} dx = e ^ x \ ln x – Ei (x ) + C [/ matemáticas]

donde [matemáticas] Ei (x) [/ matemáticas] es la integral exponencial.

Esto implica la función integral exponencial que no es una función elemental. Puede expandirse como una serie de potencias o puede usar aproximación numérica.

La integración por partes da exp (x) ln (x) – integral (exp (x) dx / x) y es el segundo término que es la función integral exponencial.