Si [matemática] P_1, P_2,…, P_n [/ matemática] son ​​polinomios en [matemática] x [/ matemática] cada uno con todos los coeficientes enteros de manera que [matemática] P_1 = P_1 ^ 2 + P_2 ^ 2 +… + P_n ^ 2, [/ math] ¿cómo muestro que [math] P_1 = 1 [/ math] y [math] P_2 = P_3 =… = P_n = 0 [/ math]?

Answer 1

Deje que los grados de [math] P_1, \ ldots, P_n [/ math] sean [math] d_1, \ ldots, d_n [/ math] respectivamente.

Deje [math] d_ {max} = \ max \ {d_1, \ ldots, d_n \} [/ math]. Tenga en cuenta que muchos d_i podrían ser iguales a [math] d_ {max} [/ math].

Luego, usando [matemáticas] P_1 = P_1 ^ 2 + \ ldots + P_n ^ 2 [/ matemáticas], el grado más alto en ambos lados debe ser el mismo. En el LHS, el grado más alto es [matemáticas] d_1 [/ matemáticas]. En el RHS, el grado más alto es [math] 2 d_ {max} [/ math].

Entonces,

[matemáticas] d_1 = 2 d_ {máx} [/ matemáticas]

Además, [math] d_ {max} \ geq d_1 [/ math]. Tenga en cuenta que [math] d_ {max}> d_1 [/ math] no satisface la ecuación anterior, y [math] d_ {max} = d_1 [/ math] satisface la ecuación anterior iff [math] d_ {max} = d_1 = 0 [/ matemáticas].

Esto muestra que cada uno de los polinomios es un polinomio constante. Deje que estos sean [matemática] P_1 = c_1 [/ matemática] [matemática], \ ldots, P_n = c_n [/ matemática], donde cada [matemática] c_i [/ ​​matemática] es un número entero.

Como [math] c_1 [/ math] es un número entero, [math] c_1 \ leq c_1 ^ 2 [/ math].

De la ecuación dada, obtenemos

[matemáticas] c_1 = c_1 ^ 2 + \ ldots + c_n ^ 2 [/ matemáticas]

Esto es posible solo cuando [math] c_1 = c_1 ^ 2 [/ math] y [math] c_2 = \ ldots = c_n = 0 [/ math].

Tenga en cuenta que solo necesitábamos que los coeficientes de [math] P_1 [/ math] fueran enteros.

Answer 2

Inspección:
Como son polinomios con coeficientes enteros, no hay trucos involucrados.
Todos los polinomios están al cuadrado y se agregan, por lo que si hay términos de mayor grado (más altos que en P1) en P2, P3 y así sucesivamente … no se cancelarán entre ellos,
Además, incluso si otros son del mismo grado, entonces la suma lo convertirá en un valor mayor que P1, por lo tanto
P2 = P3 = P4 … Pn = 0,
Entonces te queda P1 = (P1) ^ 2, donde P1 es un polinomio, por lo tanto
P1 = 1.

Answer 3

Si [math] P_1 [/ math] es un polinomio cero, entonces [math] P_2, P_3, \ ldots, P_n [/ math] son ​​todos cero.

Consideramos el caso cuando [math] P_1 [/ math] no es cero. Deje que el grado de [matemáticas] P_1 [/ matemáticas] sea d. Observe ese grado de RHS [matemáticas] \ geq 2d [/ matemáticas]. La igualdad se mantiene solo si [matemática] d = 2d [/ matemática] es decir, [matemática] d = 0 [/ matemática]. En este caso [matemática] P_1 [/ matemática] es un polinomio constante. Todos los demás polinomios también son constantes.

Sea [math] P_i = c_i, 1 \ leq i \ leq n [/ math]. Entonces

[matemáticas] P_1 = P_1 ^ 2 + P_2 ^ 2 +… + P_n ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica c_1 = c_1 ^ 2 + c_2 ^ 2 + \ ldots + c_n ^ 2 [/ matemáticas]

Pero [matemáticas] c_1 \ leq | c_1 | \ leq c_1 ^ 2 \ leq c_1 ^ 2 + c_2 ^ 2 + \ ldots + c_n ^ 2. [/ Math]

La igualdad se cumple si [matemática] c_1 = c_2 = \ ldots = c_n = 0 [/ matemática] o [matemática] c_1 = 1 [/ matemática] y [matemática] c_1 = c_2 = \ ldots = c_n = 0. [/ Matemática ]

Primer caso que ya hemos tratado. Para el segundo caso tenemos

[matemáticas] P_1 = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] P_2 = P_3 =… = P_n = 0. [/ matemáticas]