¿Cuál es el producto de las raíces reales de la ecuación [matemáticas] x ^ 2 + 18x + 30 = 2 \ sqrt {x ^ 2 + 18x + 45} [/ matemáticas]?

Answer 1

[matemáticas] x ^ 2 + 18x + 30 = 2 \ sqrt {x ^ 2 + 18x + 45} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 18x + 30 = 2 \ sqrt {x ^ 2 + 18x + 30 + 15} [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 18x + 30) ^ 2 = 4 (x ^ 2 + 18x + 30) + 60 [/ matemáticas]

[matemática] (x ^ 2 + 18x + 30) ^ 2 – 4 (x ^ 2 + 18x + 30) – 60 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] (x ^ 2 + 18x + 30) ^ 2 – 4 (x ^ 2 + 18x + 30) + 4 – 64 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 18x + 30 – 2) ^ 2 = 64 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 18x + 28 = \ pm 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 18x + 30 = 2 \ pm 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 18x + 30 = -6, 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 18x + 30 \ geq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 18x + 30 \ ne -6 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 18x + 30 = 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 18x + 20 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 18x + 81 – 61 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 9) ^ 2 = 61 [/ matemáticas]

[matemáticas] x + 9 = \ pm \ sqrt {61} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -9 \ pm \ sqrt {61} [/ matemáticas]

[matemáticas] (- 9 + \ sqrt {61}) (- 9 – \ sqrt {61}) = 81 – 61 = 20 [/ matemáticas]

Answer 2

Tenga en cuenta que [matemáticas] x ^ 2 + 18x + 45 = \ izquierda (x ^ 2 + 18x + 30 \ derecha) + 15 [/ matemáticas]

Puedes escribir la ecuación original como

[matemáticas] a = 2 \ sqrt {\, a + 15} [/ matemáticas]

Resuelve esa ecuación para a: tendrás dos raíces reales, llámalas c y d.

Resolver

[matemáticas] x ^ 2 + 18x + 30 = c, x ^ 2 + 18x + 30 = d [/ matemáticas]

Habrá cuatro soluciones. Tómese el tiempo para verificar cada uno de ellos en la ecuación original para asegurarse de que ninguno sea extraño.

Answer 3

Deje que [matemáticas] u = x ^ 2 + 18x + 30 [/ matemáticas]

La ecuación se puede reescribir como [matemáticas] u = 2 \ sqrt {(u + 15)} [/ matemáticas]

Como RHS no puede ser negativo, el dominio para la solución es [math] u \ geq 0 [/ math]

Cuadrando ambos lados [matemática] u ^ 2-4u-60 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ por lo tanto (u-10) (u + 6) = 0 [/ matemáticas]

Por el dominio de u, las soluciones a [matemáticas] u + 6 = 0 [/ matemáticas] son ​​raíces extrañas

Por lo tanto, las soluciones reales se dan [matemáticas] x ^ 2 + 18x + (30-10) = x ^ 2 + 18x + 20 = 0 [/ matemáticas]

Luego sigue el producto de las raíces para una cuadrática, el producto de las raíces reales es 20

Answer 4

[matemáticas] x ^ 2 + 18 x + 30 \ to t [/ matemáticas]

[matemáticas] t = 2 \ sqrt {t + 15} (1) [/ matemáticas]

Resolver para t:

t = 10 (t = -6 no permitido)

[matemáticas] x ^ 2 + 18 x + 30 = 10 [/ matemáticas]

Las verdaderas raíces son:

[matemáticas] x = – \ sqrt {61} -9 \ lor x = \ sqrt {61} -9 [/ matemáticas]

Producto es

[matemática] \ left (- \ sqrt {61} -9 \ right) \ left (\ sqrt {61} -9 \ right) = 20 [/ math]

Answer 5

x² + 18x + 30 = 2√ (x² + 18x + 45)

Cuadrado de ambos lados
x⁴ + 36x³ + 384x² + 1080x + 900 = 4 (x² + 18x + 180)

Expande el lado derecho
x⁴ + 36x³ + 384x² + 1080x + 900 = 4x² + 72x + 180

Resta el lado derecho de ambos lados
x⁴ + 36x³ + 380x² + 1008x + 720 = 0

Encuentra las raíces de la ecuación cuártica
Obtendrás lo siguiente:

x1 = -1.1897503240932723
x2 = -2.2917960675007043
x3 = -15.708203932499295
x4 = -16.81024967590673

Los probaremos para asegurarnos de que ninguno de ellos sea extraño

Usando x = x1
x⁴ + 36x³ + 380x² + 1008x + 720 = 0

Usando x = x2
x⁴ + 36x³ + 380x² + 1008x + 720 ≠ 0

Usando x = x3
x⁴ + 36x³ + 380x² + 1008x + 720 ≠ 0

Usando x = x4
x⁴ + 36x³ + 380x² + 1008x + 720 = 0

Entonces las raíces no extrañas son x = x1 yx = x4

Deje que el producto de las raíces sea P.
P = (x1) (x4)
P = (-1.1897503240932723) (- 16.81024967590673)
P = 20

Answer 6

x ^ 2 + 18x + 30 = 2√ (x ^ 2 + 18x + 45)

x² + 18x + 30 = 2√ ((x + 3) (x + 15))

(x + 3) (x + 15) – 2√ ((x + 3) (x + 15)) – 15 = 0

Sea u² = (x + 3) (x + 15) puede introducir un par de raíces falsas

(u – 5) (u + 3) = 0
⇒ u = 5, -3

25 = (x + 3) (x + 15)
⇒ x = (-9 ± √61)

9 = (x + 3) (x + 15)
⇒ x = (-9 ± 3√5)

Descartar x = (-9 ± 3√5)

No satisfacen la ecuación original.

(-9 + √61) (- 9 – √61) = 20

Entendiendo las raíces reales

Answer 7

Deja que WolframAlpha haga el trabajo:

Ahora, tiene dos soluciones, todo lo que tiene que hacer es multiplicarlas para obtener el producto:

El producto es: 20 .