Cómo demostrar que [matemáticas] a (b + c) = ab + ac [/ matemáticas]

Answer 1

Esta no es una prueba completa. Piense en ello como un trampolín hacia una prueba más (mucho más) formal:

Comenzando con a (b + c)

[matemáticas] a \ cdot (b + c) [/ matemáticas] = [matemáticas] (b + c) + (b + c) + \ cdot \ cdot \ cdot + (b + c) [/ matemáticas] = lo haré eliminar los pares de paréntesis [math] a [/ math] para que termine obteniendo = [math] b + c + b + c + b + c + \ cdot \ cdot \ cdot + b + c [/ math] = ahora voy a agrupar todos los [math] b [/ math] ‘y [math] c [/ math]’ s para dar = [math] b + b + b + \ cdot \ cdot \ cdot + b + c + c + c + \ cdot \ cdot \ cdot + c [/ math] = ya que hay [math] a [/ math] [math] b [/ math] ‘s y [math] a [/ math] [math ] c [/ math] ‘s = [math] a \ cdot b + a \ cdot c [/ math].

Comenzando con ab + ac

[matemáticas] a \ cdot b + a \ cdot c [/ math] = [matemáticas] b + b + b + \ cdot \ cdot \ cdot + b + c + c + c + \ cdot \ cdot \ cdot + c [/ matemáticas] = dado que hay [matemáticas] a [/ matemáticas] [matemáticas] b [/ matemáticas] ‘y [matemáticas] a [/ matemáticas] [matemáticas] c [/ matemáticas]’, las agruparé = [matemáticas] (b + c) + (b + c) + (b + c) + \ cdot \ cdot \ cdot + (b + c) [/ math] = ya que hay [matemáticas] a [/ matemáticas] ([ matemáticas] b + c [/ matemáticas]) ‘s = [matemáticas] a \ cdot (b + c) [/ matemáticas]. QED

¿Todavía no en este nivel de abstracción?

Déjame mostrarte lo que hice de manera general con números reales. Usaré [matemáticas] 3 \ cdot (2 + 5) [/ matemáticas].

[matemáticas] 3 \ cdot (2 + 5) [/ matemáticas] = [matemáticas] (2 + 5) + (2 + 5) + (2 + 5) [/ matemáticas] = [matemáticas] 2 + 5 + 2 + 5 + 2 + 5 [/ matemáticas] = [matemáticas] 2 + 2 + 2 + 5 + 5 + 5 [/ matemáticas] = [matemáticas] 3 \ cdot2 + 3 \ cdot5 [/ matemáticas].

[matemáticas] 3 \ cdot2 + 3 \ cdot5 [/ matemáticas] = [matemáticas] 2 + 2 + 2 + 5 + 5 + 5 [/ matemáticas] = [matemáticas] (2 + 5) + (2 + 5) + ( 2 + 5) [/ matemáticas] = [matemáticas] 3 \ cdot (2+ 5) [/ matemáticas].

Answer 2

Esto es más fácil de mostrar geométricamente. Considere dos segmentos de línea, uno de longitud [matemática] b [/ matemática] y uno de longitud [matemática] c [/ matemática]. Entonces [math] b + c [/ math] es la longitud del segmento de línea formado al colocar los dos segmentos de extremo a extremo.

Otra forma de ver la suma es a través del área. Si pongo dos rectángulos uno al lado del otro para que solo se conecten en una línea, entonces el área de la región total es la suma de las áreas de las dos regiones más pequeñas.

La última idea geométrica que necesitamos es ¿qué es la multiplicación? El producto de dos números [matemática] xy [/ matemática] es el área de un rectángulo con dos lados paralelos es la longitud [matemática] x [/ matemática] y los otros dos lados de la longitud [matemática] y [/ matemática].

Ahora su enunciado [matemáticas] a (b + c) = ab + ac [/ matemáticas] es solo una consecuencia de la siguiente imagen. Los dos rectángulos tienen área [math] ab [/ math] y [math] ac [/ math], por lo que su área total es [math] ab + ac [/ math]. Además, juntos forman un rectángulo con longitudes laterales [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b + c [/ matemáticas]. Por lo tanto, deben tener área [matemáticas] a (b + c) [/ matemáticas]. Como estas dos áreas deben ser iguales, [matemática] a (b + c) = ab + ac [/ matemática].

Answer 3

No, esta propiedad es una propiedad fundamental de la multiplicación conocida como distributividad. Para ser más precisos, en cualquier anillo [matemática] R [/ matemática], siempre tenemos [matemática] a (b + c) = ab + ac [/ matemática] y [matemática] (b + c) a = ba + ca [/ math] donde [math] a, b, c \ en R [/ math]. Si [math] R [/ math] es un anillo conmutativo, estos dos valores concuerdan, pero en general no es necesario. (Considere el anillo de matrices [matemáticas] 2 \ veces 2 [/ matemáticas], por ejemplo).

Answer 4

Las leyes a (b + c) = ab + ac y (b + c) a = ba + ca son las leyes de distribución. Junto con las leyes conmutativas y asociativas, y algunas otras, pueden tomarse como axiomas para los números reales. Otro enfoque es basar el sistema de números en un conjunto mucho más básico de axiomas, y estos se convierten en teoremas. Tienes que hacer algunas suposiciones, no puedes probarlo todo. Por ejemplo, Peano dio axiomas para los números naturales (1, 2, 3, …) y dedujo las leyes de estos. Luego, al definir números enteros y números reales en términos de números naturales, las leyes también se extienden.
El libro Fundamentos del análisis de Edmund Landau adopta este enfoque.

Si desea una verificación simple de números naturales (no una prueba rigurosa), dibuje una fila de 3 xs, un espacio y otra fila de 5 xs. Debajo dibuja 6 filas más idénticas de xs. Ahora tiene 7 filas de 8 x divididas en dos bloques, uno con 7 filas de 3 y el otro con 7 filas de 5. Obviamente, esto podría funcionar para cualquier número.

Answer 5

Para resolver a • (b + c) debe distribuir el multiplicador externo, el (a) a la b, y la c. Esto efectivamente se convierte en a • B + a • c

Agreguemos números

a = 1
B = 2
C = 3

A • b = 1 • 2 que se convierte en 2
A • c = 1 • 3 que es 3
Agregue los resultados juntos obtendrá 5

Ahora, intente agregar los números dentro de los paréntesis y luego multiplique por la variable externa
B + c = 2 + 3 = 5
Multiplique 5 por el número externo, 1, y obtendrá 5 también.
Los dos métodos dan resultados iguales, mostrando que la distribución produce el mismo problema que hacer los paréntesis primero. En matemáticas posteriores, será mucho más fácil usar la distribución, es por eso que está aprendiendo que puede usarse incluso cuando el otro método funciona para estos problemas

Answer 6

En álgebra booleana podemos probar esto usando la tabla de verdad.

podemos ver que a (b + c) = ab + ac

Espero que esto ayude…..