Cómo encontrar la segunda derivada de [math] y = \ ln (1+ \ sqrt {1-x}) [/ math]

Answer 1

De los comentarios de OP sobre la pregunta, parece que están teniendo problemas para calcular la segunda derivada de la primera. El OP ha calculado correctamente la primera derivada de la siguiente manera:

[matemáticas] \ displaystyle y ‘= \ left (\ frac {-1} {2 \ sqrt {1 – x}} \ right) \ left (\ frac {1} {1 + \ sqrt {1 – x}} \ derecha) [/ matemáticas]

Para obtener [math] y ‘[/ math]’, usa la regla para diferenciar el producto de dos funciones. Tienes:

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {-1} {2 \ sqrt {1 – x}} \ right) ‘= \ frac {1} {4} \ left (\ sqrt {1 – x} \ right) ^ {- \ frac {3} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ left (\ frac {1} {1 + \ sqrt {1 – x}} \ right) ‘= – \ frac {1} {2 \ left (1 + \ sqrt {1 – x} \ right) ^ 2 \ sqrt {1 – x}} [/ matemáticas]

Ahora tenemos,

[matemáticas] \ displaystyle y ” = \ left (\ frac {1} {2 \ sqrt {1 – x}} \ right) \ left (\ frac {1} {2 \ left (1 + \ sqrt {1 – x} \ right) ^ 2 \ sqrt {1 – x}} \ right) + \ left (\ frac {1} {1 + \ sqrt {1 – x}} \ right) \ frac {1} {4} \ left (\ sqrt {1 – x} \ right) ^ {- \ frac {3} {2}} [/ math]

Answer 2

Usando la regla de la cadena,

[matemáticas] f (u) = \ ln (u) [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(u) = \ dfrac {1} {u} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(g (x)) = \ dfrac {1} {1+ \ sqrt {1-x}} [/ matemáticas]

[matemáticas] g (x) = 1 + \ sqrt {1-x} [/ matemáticas]

[matemáticas] g ‘(x) = – \ frac {1} {2 \ sqrt {1-x}} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(g (x)) g’ (x) = \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} [/ math]

[math] \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ dfrac {-1} {2 (\ sqrt {1-x} + 1-x)} [/ math]

Nuevamente, usando la regla de la cadena, para encontrar la derivada de esto nuevamente,

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2} \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ dfrac {1} {\ sqrt {1-x} + 1-x} [/ math ]

[matemáticas] f (u) = \ dfrac {1} {u} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(u) = – \ dfrac {1} {u ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(g (x)) = – \ dfrac {1} {(\ sqrt {1-x} + 1-x) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] g (x) = \ sqrt {1-x} + 1-x [/ matemáticas]

[matemáticas] g ‘(x) = \ dfrac {1} {2 \ sqrt {1-x}} – 1 = \ dfrac {- (1 + 2 \ sqrt {1-x})} {2 \ sqrt {1 -x}} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(g (x)) g’ (x) = \ dfrac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x} [/ math]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2} \ dfrac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x} = – \ dfrac {1} {2} \ dfrac {1 + 2 \ sqrt {1 -x}} {(2 \ sqrt {1-x}) (\ sqrt {1-x} + 1-x)} [/ math]

Gracias por A2A

Answer 3

Otra forma de hacer esto, que es exactamente lo mismo, es que podemos invertir esto y resolver [math] x [/ math]:

[matemáticas] 1- (e ^ y-1) ^ 2 = x [/ matemáticas]

Tomando la derivada con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas], obtenemos:

[matemáticas] 1 = -e ^ y \ frac {dy} {dx} \ times 2 (e ^ y-1) [/ matemáticas] ………………………………………… (1)

[math] \ Rightarrow \ frac {dy} {dx} = \ frac {-e ^ {- y}} {2 (e ^ y-1)} [/ math]

(1) lee:

[matemáticas] e ^ y (e ^ y-1) \ frac {dy} {dx} = – \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Tomando la segunda derivada de (1) usando la regla del producto,

[matemática] \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) ^ 2 (2e ^ {y} -1) + (e ^ y-1) \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = 0 [/matemáticas]

Luego, puede resolver todo lo que necesita conectando las expresiones para [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] y [math] y [/ math] en términos de [math] x [/ math].