Si a + b + c + d = 1, ¿cuál es el valor máximo de (ab + bc + cd)?

Answer 1

Tomemos ejemplos de 2 números (x e y) entre 0 y 1, de modo que x + y = 1.

x = 0, y = 1 -> xy = 0

x = 0.1, y = 0.9 -> xy = 0.09

x = 0.2, y = 0.8 -> xy = 0.16

x = 0.3, y = 0.7 -> xy = 0.21

x = 0.4, y = 0.6 -> xy = 0.24

x = 0.5, y = 0.5 -> xy = 0.25

Luego nuevamente 0.24, 0.21, 0.16, 0.09, 0.

¿Qué observamos?

La mitad de 1, es decir, 0.5 da el mayor producto (ya que x e y es igual).

Ahora, llegamos a a + b + c + d = 1.

Necesitamos encontrar ab + bc + cd.

Como vemos aquí, b y c vienen 2 veces, mientras que a y d viene 1. Por lo tanto, debemos hacer que b y c sean máximos y eso haría que a y d sean mínimos.

A medida que aumentamos los valores de byc, y disminuimos a y d, obtenemos más aumentos del valor resultante.

P.ej:

a = b = c = d = 0.25 -> ab + bc + cd = 0.1875

a = d = 0.2, b = c = 0.3 -> ab + bc + cd = 0.21

a = d = 0.1, b = c = 0.4 -> ab + bc + cd = 0.24

Por lo tanto, hacemos a = d = 0 (mínimo), b = c = 0.5

=> ab + bc + cd = 0.25

Max. valor = 0.25

Answer 2

Deje, a = n; n es un número positivo muy grande.
b = 1; c = 0; d = – (n)
Entonces a + b + c + d sería 1;
ab + bc + cd = n + 0 + 0;
Como no hay restricciones sobre cuán grande puede ser n, el máximo podría ser cualquier cosa.

Answer 3

Deseamos maximizar la función:
f (a, b, c, d) = (ab + bc + cd)

ab + bc + cd – L * (1- (a + b + c + d)) = S (a, b, c, d, L)

dS / da = b – L = 0
dS / db = a + c – L = 0
dS / dc = b + d – L = 0
dS / dd = c – L = 0
dS / dL = 1 – (a + b + c + d) = 0

=>

b = L
a + c = L
b + d = L
c = L
1 = a + b + c + d

Resolviendo estas cinco ecuaciones simultáneamente, alcanzamos a = d = 0, y b = c = 1/2.

Por lo tanto, f (a, b, c, d) = 1/4, y este es el máximo

Máximos y mínimos

Answer 4

Dado a + b + c + d = 1.
Denote f (a, b, c, d) = ab + bc + cd
Considere F (a, b, c, d, ζ) = ab + bc + cd + ζ (a + b + c + d-1)
Aplicando las condiciones necesarias para un máximo de f ie
∂F / ∂a = ∂F / ∂b = ∂F / ∂c = ∂F / ∂ζ = 0
Obtenemos b + ζ = 0, a + c + ζ = 0, b + d + ζ = 0,
c + ζ = 0 y a + b + c + d = 1
=> a = 0, d = 0, ζ = -1 / 2, c = 1/2, b = 1/2
Por lo tanto, el valor máximo de
ab + bc + cd es 1/4.
Este método se llama método multiplicador de Lagranges.
Espero que esto te ayudará….

Answer 5

Para responder a esta pregunta, utilizamos la desigualdad AM-GM:

1. Agregar y restar anuncios del LHS
2. Obtiene [math] ab + bc + cd + ad-ad [/ math]
3. [matemáticas] ab + bc + cd + ad = (a + c) (b + d)… 1 [/ matemáticas]
4. Aplicar la desigualdad AM-GM en los términos, [matemática] a + c, b + d [/ matemática]
5. Por lo tanto, [matemáticas] (a + b + c + d) ≥2 √ (a + c) (b + d) [/ matemáticas]
6. Por lo tanto, [matemáticas] (½) ²≥ (a + c) (b + d) [/ matemáticas]
7. Por lo tanto, [matemáticas] ¼ ≥ (a + c) (b + d) = ab + bc + cd + ad … 2 [/ matemáticas]
8. Ahora, dado que a, b, c, d son números positivos, ad, es un producto de dos números positivos y es mayor que 0.
9. Por lo tanto, [matemática] 0≤ad → 0≥-ad … 3 [/ matemática]
10. Agregando eq2 a eq3, [math] ¼ + 0≥ab + bc + cd + ad-ad [/ math]
11. Por lo tanto, [matemáticas] ¼≥ab + bc + cd [/ matemáticas]
12. Este límite se puede lograr si a = 0, b = ½, c = ½, d = 0.

Por lo tanto, el valor máximo de la función dada es ¼.

Answer 6

Si a, b, cyd son números reales positivos <1, entonces la solución es conocida. Sin embargo, si se elimina esta condición, entonces es incognoscible, por ejemplo, si dos de los números son negativos, entonces los 4 números pueden ser 10000, -99999, -2, 2, por lo que verá que el valor máximo no tiene límites. Sin embargo, solo en caso de números reales positivos

a + b + c + d = 1

entonces max (abcd) = 0.25 * 0.25 * 0.25 * 0.25

sin embargo, si se permite 0, entonces la ecuación cambia ligeramente

si c = d = 0 y a = b = 0.5

max (ab + bc + cd) = 0.25

Answer 7

Por lógica simple, considero que a, b, c, d son valores reales. Entonces me encantaría dar un ejemplo donde,

a = 8, b = 2, c = -1, d = -8

entonces a + b + c + d = 8 + 2-1-8 = 1 (satisface a + b + c + d = 1)

y ab + bc + cd = 8 * 2 + 2 * (- 1) + (-1) * (- 8) = 16-2 + 8 = 22

Del mismo modo, podemos tener muchos valores máximos de ab + bc + cd variando a y d.

Por lo tanto, no tenemos una solución particular de a, b, c, d que pertenezcan a valores reales.

Pero para abcd> = 0, que significa para valores positivos de a, b, c, d incluyendo 0, tenemos max (ab + bc + cd) cuando a = b = 0 y c = d = 0.5.

entonces max (ab + bc + cd = 0.25).

Esto se puede entender por, a = b = 0, entonces en a + b + c + d = 1, 0 + 0 + c + d = 1

por lo tanto, c + d = 1. que es una relación lineal y al dibujar el gráfico obtenemos c * d máximo en el punto medio, es decir, cuando c = d = 0.5

Answer 8

Supongamos que a, b, cyd no son negativos, para dar sentido a la pregunta.

Primero, reorganizamos la expresión

[matemáticas] ab + bc + cd = ab + c (b + d) [/ matemáticas]

[matemáticas] = ab + ad + c (b + d) – anuncio [/ matemáticas]

[matemáticas] = a (b + d) + c (b + d) – anuncio [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a + c) (b + d) – anuncio [1] [/ matemáticas]

Luego, para maximizar [1], intentamos maximizar [matemática] (a + c) (b + d) [/ matemática] y minimizar [matemática] ad [/ matemática] sin contradicción entre nosotros.

Para [math] ad [/ math], el valor mínimo es cero porque no es posible negativo, por lo que al menos [math] a [/ math] o [math] d [/ math] debe ser cero.

Para [matemáticas] (a + c) (b + d) [/ matemáticas], dejamos

[matemáticas] x = a + c [/ matemáticas]

y [matemáticas] y = b + d [/ matemáticas]

entonces tenemos que encontrar el valor máximo de [matemática] xy [/ matemática] cuando [matemática] x + y = 1 [/ matemática], que podemos probar que [matemática] xy [/ matemática] será máxima cuando [matemática] x = y [/ math] para que podamos concluir que

[matemáticas] x = y = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] => a + c = b + d = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, para maximizar [1], ahora tenemos dos ecuaciones

[matemáticas] ad = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a + c = b + d = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Reemplace esto en [1] para que obtengamos [math] \ frac {1} {4} [/ math] como la solución, pero antes de saltar a la conclusión debemos probar que existe al menos una [math] \ left \ { a, b, c, d \ right \} [/ math] tupla que hace que ambas afirmaciones sean verdaderas.

Mediante el método de prueba y error, podemos dejar que [matemática] a = 0, d = 0 [/ matemática] así que [matemática] ad = 0 [/ matemática], luego proceder a tener [matemática] c = b = \ frac {1 } {2} [/ math], lo que demuestra que hay al menos una tupla de [math] \ left \ {a, b, c, d \ right \} [/ math] que producen el valor máximo [math] \ frac {1} {4} [/ matemáticas].