Cómo demostrar que [matemáticas] (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd [/ matemáticas]

Answer 1

Es más fácil ver esto geométricamente. Cuando dos segmentos de línea se encuentran de extremo a extremo, la longitud total del segmento de línea es igual a la suma de los segmentos individuales. En la siguiente imagen, la longitud total del segmento de línea es [matemática] a + b [/ matemática].

Cuando coloca dos rectángulos uno al lado del otro de modo que solo se toquen en una línea, entonces el área de los dos rectángulos es igual a la suma de las áreas de los rectángulos individuales.

Luego, el área de un rectángulo es igual al producto de las longitudes laterales perpendiculares:

¡Ahora usemos estas ideas juntos! Considere la figura a continuación. Los cuatro rectángulos tienen área [matemática] ac [/ matemática], [matemática] ad [/ matemática], [matemática] bc [/ matemática] y [matemática] bd [/ matemática]. Juntos forman un rectángulo más grande con lados de longitud [matemática] a + b [/ matemática] y [matemática] c + d [/ matemática]. Dado que el rectángulo grande se puede dividir en los cuatro rectángulos más pequeños, [matemáticas] (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd. [/ Matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] (a + b) (c + d) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a + b) c + (a + b) d [/ matemáticas] (propiedad distributiva)

[matemáticas] = c (a + b) + d (a + b) [/ matemáticas] (la multiplicación es conmutativa)

[matemática] = ca + cb + da + db [/ matemática] (propiedad distributiva)

[matemáticas] = ac + bc + ad + bd [/ matemáticas] (la multiplicación es conmutativa)

[matemática] = ac + (bc + ad) + bd [/ matemática] (la suma es asociativa)

[matemáticas] = ac + (ad + bc) + bd [/ matemáticas] (la suma es conmutativa)

[matemáticas] = ac + ad + bc + bd [/ matemáticas] (la suma es asociativa)

Answer 3

Dan Christensen muestra una manera si está trabajando en un grupo que tiene la propiedad conmutativa para la multiplicación y la propiedad distributiva izquierda para la multiplicación sobre la suma.

Sin embargo, si suponemos que tenemos las propiedades distributiva izquierda y distributiva derecha, no necesitamos asumir conmutatividad en absoluto. Esto es importante ya que una de las estructuras algebraicas más importantes para el álgebra lineal, la matriz, tiene estas propiedades, pero la multiplicación sobre matrices no es conmutativa.

[matemática] (a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d) = ac + ad + b (c + d) = ac + ad + bc + bd [/ math] .

Mucho más corto, y no se necesita conmutación. Solo necesitamos distributividad derecha así como distributividad izquierda.

Casualmente, si tenemos conmutatividad así como distributividad izquierda, necesariamente también tenemos distributividad derecha (como lo muestra Dan Christensen) pero lo contrario no se cumple (por ejemplo, la suma y la multiplicación de matrices).

Answer 4

Creo que el método FOIL es el más fácil de recordar y el más rápido de implementar.

F (primero) O (útero) I (interno) L (ast)

Primero: multiplique el primer término de cada binomio ( ac ).

Exterior: multiplique el término externo de cada binomio ( anuncio ).

Interior: Multiplique el término interno de cada binomio ( bc ).

Último: multiplique el último término de cada binomio ( bd ).

Answer 5

Dan le dio la mejor respuesta en la forma más simple … Pero si aún no puede creerlo, conecte los cuatro números en a, b, cyd y verá que es cierto.