¿Cómo encuentro el punto de inflexión de una ecuación cuadrática?

Answer 1

El punto de inflexión se llama vértice. Hay algunas formas diferentes de encontrarlo. Afortunadamente, todos dan la misma respuesta.

Estás preguntando acerca de las funciones cuadráticas, cuya forma estándar es [matemáticas] f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]. Cuando [math] a \ ne 0 [/ math], estas son parábolas. Sabemos que [math] f (x) [/ math] tiene ceros en

[matemáticas] x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2–4ac}} {2a} [/ matemáticas]

También sabemos que el vértice está justo en el medio entre los dos ceros. Si sumamos las dos soluciones para encontrar el promedio, la parte [math] \ pm [/ math] desaparece y nos queda:

[matemáticas] x = – \ dfrac {b} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = f (- \ frac {b} {2a}) [/ matemáticas]

---

Otra forma de ver esto es que el vértice es el punto donde la función es plana, es decir, donde su pendiente o derivada es cero. La derivada [math] f ‘(x) = 2ax + b. [/ Math] Entonces [math] 2ax + b = 0 [/ math], o [math] x = – \ frac {b} {2a}. [ /matemáticas]

---

La última forma es completando el cuadrado:

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = a (x ^ 2 + \ frac bax + \ frac ca) = a ((x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + \ frac {c} {a} – \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}) = a (x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + c – \ frac {b ^ 2} {4a} [/ math]

Cuando la expresión entre paréntesis es cero, el cuadrado tendrá su valor más pequeño, por lo que será el mínimo o el máximo (dependiendo de si [math] a [/ math] es positivo o negativo). De cualquier manera es el vértice. Entonces

[matemáticas] x + \ dfrac {b} {2a} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = – \ dfrac {b} {2a} [/ matemáticas]

Tres formas diferentes, la misma respuesta.

Answer 2

El punto de inflexión de una ecuación cuadrática es el vértice o los máximos / mínimos, dependiendo del signo del coeficiente principal (el punto en el que alcanza su valor más alto o más bajo).

Considere la forma general de un cuadrático
[matemáticas] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]

Podemos proceder desde aquí de 2 maneras. Primero completando el cuadrado (puede que no parezca intuitivo, pero nos ayudará a ponerlo en una forma más útil):

[matemáticas] y = a \ Big (x ^ 2 + \ dfrac {b} {a} x + \ dfrac {c} {a} \ Big) [/ math]
[matemáticas] y = a \ Big (x ^ 2 + 2 \ dfrac {b} {2a} x + \ dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} + \ dfrac {c} {a} \ Big) [/ math]
[matemáticas] y = a \ Big (x ^ 2 + 2 \ dfrac {b} {2a} x + \ dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} + \ dfrac {c} {a} \ Big) [/ math]
[matemáticas] y = a \ Bigg [\ Big (x + \ dfrac {b} {2a} \ Big) ^ 2 – \ dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} + \ dfrac {c} {a} \ Bigg ][/matemáticas]

Si [math] a> 0 [/ math] entonces tenemos una parábola hacia arriba y tiene un mínimo y ningún máximo. En este caso, deseamos que la primera parte sea 0 para garantizar que proporcione el valor más bajo.

Si [math] a <0 [/ math] entonces tenemos una parábola orientada hacia abajo y tiene un máximo y ningún mínimo. En este caso, deseamos que la primera parte sea 0 para asegurarnos de que proporcione el valor más alto, ya que la primera parte se volverá negativa y disminuirá.

El caso donde es cero ocurre cuando –

[matemáticas] x = \ dfrac {-b} {2a} [/ matemáticas]

¿Cuál es la coordenada x del punto de inflexión?
La coordenada y sigue colocando este valor en la función y evaluando.

---

Ahora se acerca el cálculo.
Max / min ocurren cuando la derivada es 0.

. [matemáticas] \ dfrac {\ textrm {dy}} {\ textrm {dx}} = 2ax + b [/ matemáticas]

Ponlo igual a 0.

[matemáticas] 0 = 2ax + b [/ matemáticas]
[matemáticas] -b = 2ax [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {-b} {2a} = x [/ matemáticas]

---

Answer 3

Hay otro método simple para llegar a [math] -b / 2a [/ math] que acabo de resolver por mí mismo.

Encontrar el vértice es lo mismo que encontrar el número [matemática] N [/ matemática] donde si [matemática] x> = N [/ matemática], [matemática] f (x) Ahora escribimos la siguiente ecuación:
[matemática] ax ^ 2 + bx + c [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c [matemática] 0 <2ax + ad + b [/ matemática] podemos ignorar [matemática] ad [/ matemática], robando la idea de lim

Básicamente, si [math] d [/ math] se está acercando a 0, esencialmente se convierte en 0, por lo que puede tratarse así. En nuestro caso, es cierto porque [matemática] f: R -> R [/ matemática] (R significa números reales aquí: D) y por eso siempre podemos establecer el siguiente valor de x más cercano a x.

Por lo tanto, obtenemos [matemáticas] x> -b / 2a. [/ math] Aunque no sé por qué sigo teniendo esto después de dividir con [math] a [/ math] (lo que podría ser negativo, estropear un poco las cosas).

Answer 4

Tomando prestada la explicación de mi libro Cálculo y Geometría Analítica. :

Sea f una función cuadrática y c sea un número en su dominio. Suponga que los números a y b salen de manera que a

Si la derivada de x es positiva para todo x c en el intervalo, entonces f tiene un máximo local en c (El mayor número de y en c, donde y = f (c )). Y c es el punto de inflexión de la función cuadrática cuya gráfica es cóncava hacia abajo.

Lo mismo se aplica a la función cuadrática cuya gráfica es cóncava hacia arriba.

Si la derivada de x es negativa para todo x c en el intervalo, entonces f tiene un mínimo local en c (El número más bajo de y en c, donde y = f (c )). Y c es el punto de inflexión de la función cuadrática cuya gráfica es cóncava hacia arriba.

Answer 5

El “punto de inflexión” es su vértice. Para resolver el vértice, debes tomar tu ecuación cuadrática:

Y “completar el cuadrado”.

Para completar el cuadrado, toma la mitad de su valor b y lo pone entre paréntesis, así:

Luego factoriza su binomio (lo que acaba de hacer), y la diferencia entre su nuevo valor de C y su antiguo valor de C es lo que debe ir al final de su binomio después del “cuadrado” en el exterior.

Su vértice de su parábola sería lo opuesto a lo que está dentro de su paréntesis, y luego el número en el exterior.

x = opuesto a la mitad de su valor b

y = diferencia entre las c en cada una de sus ecuaciones cuadráticas.

Si necesita un video para ayudarlo, aquí hay uno: Vértice y eje de simetría de una parábola.

Answer 6

-b / 2a. Lo que eso significa depende de usted descubrirlo.

Answer 7

Si la gráfica de este se cruza con el eje x, está a medio camino entre las 2 intersecciones x