* A2A *
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[matemáticas] \ displaystyle f (c) = \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ arctan (c \ sin \ theta)} {\ sin \ theta} d \ theta \ etiqueta {1} [/ matemáticas]
Entonces,
- ¿Cómo encuentro el punto de inflexión de una ecuación cuadrática?
- ¿El álgebra abstracta es más difícil que el cálculo avanzado?
- Si [matemática] P_1, P_2,…, P_n [/ matemática] son polinomios en [matemática] x [/ matemática] cada uno con todos los coeficientes enteros de manera que [matemática] P_1 = P_1 ^ 2 + P_2 ^ 2 +… + P_n ^ 2, [/ math] ¿cómo muestro que [math] P_1 = 1 [/ math] y [math] P_2 = P_3 =… = P_n = 0 [/ math]?
- Cómo demostrar que [matemáticas] (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd [/ matemáticas]
- ¿Cuál es el producto de las raíces reales de la ecuación [matemáticas] x ^ 2 + 18x + 30 = 2 \ sqrt {x ^ 2 + 18x + 45} [/ matemáticas]?
[matemáticas] \ displaystyle f ‘(c) = \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {1} {1 + c ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta} d \ theta \ etiqueta {2} [/ math]
Esto es más fácil de evaluar y da,
[matemáticas] \ displaystyle f ‘(c) = \ frac {\ pi} {2 \ sqrt {c ^ 2 + 1}} \ tag {3} [/ matemáticas]
Integrando wrt c obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle f (c) = \ frac {\ pi} {2} \ sinh ^ {- 1} (c) + c_0 \ tag {4} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que en (1), [matemáticas] f (0) = 0 [/ matemáticas], por lo tanto, en (4), [matemáticas] c_0 = 0 [/ matemáticas], que da,
[matemáticas] \ displaystyle f (c) = \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ arctan (c \ sin \ theta)} {\ sin \ theta} d \ theta = \ frac {\ pi} {2} \ sinh ^ {- 1} (c) \ tag {5} [/ math]
Método 2:
Usando la serie Taylor para [math] \ arctan [/ math] obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ arctan (c \ sin \ theta)} {\ sin \ theta} d \ theta = \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n} c ^ {2n + 1} \ sin ^ {2n} \ theta } {2n + 1} d \ theta \ tag {6.1} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n} c ^ {2n + 1}} {2n + 1} \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {2n} \ theta d \ theta \ tag {6.2} [/ math]
Ahora, utilizaremos un resultado bastante conocido y bastante fácil de probar, que es,
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {2n} \ theta d \ theta = \ frac {\ pi (2n)!} {2 ^ {2n + 1} (n!) ^ {2}} \ tag {7} [/ math]
De (6.2) y (7), obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ arctan (c \ sin \ theta)} {\ sin \ theta} d \ theta = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n} c ^ {2n + 1}} {2n + 1} \ frac {\ pi (2n)!} {2 ^ {2n + 1} ( n!) ^ {2}} = \ frac {\ pi} {2} \ sinh ^ {- 1} (c) \ tag {8} [/ math]
Método 3:
Sustituyendo [math] c \ sin \ theta = x [/ math] obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ arctan (c \ sin \ theta)} {\ sin \ theta} d \ theta = c \ int_0 ^ c \ frac {\ arctan (x)} {x} \ frac {1} {\ sqrt {c ^ 2 – x ^ 2}} dx \ tag {9} [/ math]
Ahora, tenga en cuenta que,
[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ frac {1} {1 + x ^ 2y ^ 2} dy = \ frac {\ arctan (x)} {x} \ tag {10} [/ math]
De (9) y (10),
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ arctan (c \ sin \ theta)} {\ sin \ theta} d \ theta = c \ int_ {x = 0} ^ {x = c} \ int_ {y = 0} ^ {y = 1} \ frac {1} {1 + x ^ 2y ^ 2} \ frac {1} {\ sqrt {c ^ 2 – x ^ 2}} dx dy \ tag {11} [/ math]
Ahora, pon [math] x = c \ sin t [/ math] para obtener,
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ arctan (c \ sin \ theta)} {\ sin \ theta} d \ theta = c \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {1} {1 + c ^ 2y ^ 2 \ sin ^ 2 t} dt dy \ tag {12.1} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = c \ int_0 ^ 1 \ frac {\ pi} {2 \ sqrt {c ^ 2y ^ 2 + 1}} dy = \ frac {\ pi} {2} \ sinh ^ {- 1} ( c) \ tag {12.2} [/ math]