Para [math] (a_ {n}) _ {n \ geq1}, a_ {n + 1} = \ frac {3a_ {n}} {2 + a_ {n}} [/ math], ¿cómo es [math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 1 [/ math]?

Answer 1

Consulte mi respuesta a una pregunta similar publicada hace aproximadamente un mes. Te daría una idea para resolver el problema. Pero aún así publicaré una solución a continuación

Deje que [math] a_ {n} [/ math] sea una secuencia y satisfaga [math] a_ {n + 1} = (1/3) \ left (2a_ {n} + \ frac {125} {a_ {n} ^ {2}} \ right) [/ math]. ¿Qué es [math] \ lim_ {n \ to \ infty} a_ {n} [/ math]?

Usaré la misma lógica en esta pregunta que la utilizada en la respuesta a lo anterior. Deje que [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} a_n = L [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ large \ lim_ {n \ to \ infty} a_ {n + 1} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {3a_n} {2 + a_n} [/ math]

Desplazando el límite adentro: [matemática] \ implica \ grande L = \ dfrac {3L} {2 + L} [/ matemática]

[matemática] \ implica \ grande 2L + L ^ 2 = 3L \ tamaño normal \ implica \ grande L (L-1) = 0 [/ matemática]

Entonces [matemática] L = 1 [/ matemática] o [matemática] L = 0 \ implica [/ matemática] El límite no existe. Creo que la pregunta puede ser una pregunta capciosa.

Answer 2

Como n tiende al infinito, el término enésimo y el término (n + 1) son casi iguales. Estoy usando [matemáticas] A_n [/ matemáticas] para el término enésimo. No sé cómo usar subíndices en Quora. Espero que puedas entenderlo

An = A (n + 1) ya que n tiende a infinito

[matemáticas] A (n + 1) = 3An / (2 + An) [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 + An = 3 [/ matemáticas] como n tiende al infinito

[matemáticas] An = 1 [/ matemáticas] ya que n tiende al infinito

Entonces la serie está limitada entre 0 y 1. Supongo que esto vino es el ISI de este año

Espero que haya sido útil.