Cómo encontrar el valor máximo de [matemáticas] \ sin \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) (1+ \ cos \ theta) [/ math]

Answer 1

Si bien Anirudh Kamath proporciona una respuesta genérica, yo proporcionaría un método sin usar derivados.

Primero, deje que [math] t = 2 \ theta [/ math], luego la función que tiene se convierte en

[matemáticas] g (t) = \ sin t (1 + \ cos 2t) [/ matemáticas]

Notando que

[matemáticas] 1 + \ cos 2t = 2 \ cos ^ 2 t [/ matemáticas]

Tenemos

[matemáticas] g (t) = 2 \ sen t \ cos ^ 2 t [/ matemáticas]

Ahora paso a la desigualdad promedio para 3 variables; es decir, para [matemáticas] a, b, c> 0 [/ matemáticas] tenemos

[matemáticas] \ left (\ dfrac {a + b + c} {3} \ right) ^ 3 \ geq abc [/ math] [Utilizando [math] AM \ geq GM [/ math]]

donde la igualdad se cumple si y solo si [matemáticas] a = b = c [/ matemáticas]. Ahora lo hacemos así:

[matemáticas] g ^ 2 (t) = 4 \ sen ^ 2 t \ cos ^ 4 t \\ = 2 \ times 2 \ sin ^ 2 t \ times \ cos ^ 2 t \ times \ cos ^ 2 t \\ \ leq 2 \ times \ left (\ dfrac {2 \ sin ^ 2 t + \ cos ^ 2 t + \ cos ^ 2 t} {3} \ right) ^ 3 \\ = \ dfrac {16} {27} [/ matemáticas]

Lo anterior utiliza la desigualdad promedio y el hecho de que [matemáticas] \ sin ^ 2 t + \ cos ^ 2 t = 1 [/ matemáticas]. La igualdad se cumple si y solo si [matemáticas] 2 \ sin ^ 2 t = \ cos ^ 2 t [/ matemáticas]. Una solución para [math] g (t)> 0 [/ math] es que [math] t = \ arctan \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} [/ math] y [math] g [/ math ] tiene un máximo que equivale a [math] \ sqrt {\ dfrac {16} {27}} = \ dfrac {4} {3 \ sqrt {3}} [/ math].

Answer 2

Puede usar el hecho de que [matemáticas] 1+ \ cos {\ theta} = 2 \ cos ^ 2 {\ frac {\ theta} {2}} [/ matemáticas] y reescribir la función (vamos a llamarla [matemáticas] ] f [/ matemáticas]) como

[matemáticas] f (\ theta) = \ sin {\ frac {\ theta} {2}} (2 \ cos ^ 2 {\ frac {\ theta} {2}}) [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] f (\ theta) = 2 (\ sin {\ frac {\ theta} {2}} – \ sin ^ 3 {\ frac {\ theta} {2}}) [/ math]

Para cualquier máximo / mínimo local, [matemática] f ‘(\ theta) = 0 [/ matemática]

Resolver cuáles obtendremos [matemática] \ cos {\ frac {\ theta} {2}} = 0 [/ matemática] o [matemática] \ sin ^ 2 {\ frac {\ theta} {2}} = \ frac { 1} {3} [/ math], o puedes decir

[matemáticas] \ cos ^ 2 {\ frac {\ theta} {2}} = \ frac {2} {3} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el valor máximo de esta función es [matemáticas] 2 (\ frac {2} {3}) (\ frac {1} {\ sqrt {3}}) = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}} [/ math] que es aproximadamente [math] 0.7698 [/ math]

Answer 3

Deje [math] f (\ theta) = \ sin \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) (1+ \ cos \ theta) [/ math]

[matemáticas] \ implica f (\ theta) = 2 \ sin \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) \ cos ^ 2 \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica f (\ theta) = 2 \ sin \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) \ left (1- \ sin ^ 2 \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica f (\ theta) = 2 \ sin \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) -2 \ sin ^ 3 \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) [/matemáticas]

En el punto crítico, [matemáticas] f ‘(\ theta) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 \ cos \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) -6 \ sin ^ 2 \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) \ cos \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) = 0 [/ math]

[matemáticas] \ implica \ cos \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) \ left (1–3 \ sin ^ 2 \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) \ right) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ cos \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) = 0 [/ math] o [math] \ sin ^ 2 \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right ) = \ dfrac {1} {3} [/ math]

[math] \ cos \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) = 0 [/ math] producirá un valor mínimo, por lo que lo descuidamos.

[matemáticas] \ sin ^ 2 \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) = \ dfrac {1} {3} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ cos ^ 2 \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) = \ dfrac {2} {3} [/ math]

Valor máximo de [matemática] f (\ theta) = 2 [/ matemática] [matemática] \ sin \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) \ cos ^ 2 \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) = 2 \ times \ left (\ dfrac {1} {\ sqrt {3}} \ right) \ times \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) = \ dfrac {4} {3 \ sqrt {3}} [/ matemáticas]