Cómo resolver [matemáticas] \ frac {(\ sqrt [3] {(12-x) ^ 2} + \ sqrt [3] {(12-x) * (x-3)} + \ sqrt [3] { (x-3) ^ 2}) ^ 2} {\ sqrt [3] {(12-x)} + \ sqrt [3] {(x-3)}} = \ frac {49} {3} [/ matemáticas]

Answer 1

Gracias por el enunciado del problema bien formateado y sin paréntesis. Quora cuestionadores toman nota.

Comencemos con [math] a = \ sqrt [3] {12 -x} [/ math] y [math] b = \ sqrt [3] {x-3} [/ math] y [math] c = 49 / 3 [/ math] y reescribir

[matemáticas] \ dfrac {(a ^ 2 + ab + b ^ 2) ^ 2} {a + b} = \ dfrac {49} {3} = c [/ matemáticas]

Se supone que no debemos adivinar la solución obvia de que [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] son ​​1 y 2 o 2 y 1, dando [matemáticas] (1 + 2 + 4) ^ 2 / 3 [/ math] para la fracción y que conduce a [math] x = 11 [/ math] o [math] x = 4 [/ math].

Dejemos que [math] s = a + b [/ math], entonces [math] s ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 [/ math]. Dejemos que [math] p = ab [/ math]. Entonces [matemáticas] s ^ 2-p = a ^ 2 + ab + b ^ 2. [/ Matemáticas]

[matemáticas] (s ^ 2-p) ^ 2 = cs [/ matemáticas]

[matemáticas] p = s ^ 2 \ pm \ sqrt {cs} [/ matemáticas]

Esa es una ecuación que involucra [matemáticas] s [/ matemáticas] y [matemáticas] p [/ matemáticas]. Necesitamos otro para progresar. Empecemos con:

[matemáticas] a ^ 3 = 12-x [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 3 = x -3 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) [/ matemáticas]

[matemáticas] s ^ 3 = 9 + 3ps [/ matemáticas]

[matemáticas] p = \ dfrac {s ^ 3 – 9} {3s} [/ matemáticas]

OKAY. Dos ecuaciones y dos incógnitas.

[matemáticas] s ^ 2 \ pm \ sqrt {cs} = \ dfrac {s ^ 3 – 9} {3s} [/ matemáticas]

[matemáticas] 3s ^ 3 \ pm 3s \ sqrt {cs} = s ^ 3 -9 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ pm 3s \ sqrt {cs} = -2s ^ 3 – 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] 9cs ^ 3 = 4s ^ 6 + 36s ^ 3 + 81 [/ matemáticas]

[matemática] 0 = 4s ^ 6 + (36 – 9c) s ^ 3 + 81 = 4s ^ 6 + (36–9 \ cdot 49/3) s ^ 3 + 81 [/ matemática]

[matemáticas] 0 = 4s ^ 6 – 111 s ^ 3 + 81 = (4s ^ 3 -3) (s ^ 3-27) [/ matemáticas]

[matemáticas] s ^ 3 = 27 [/ matemáticas] o [matemáticas] s ^ 3 = \ frac 3 4. [/ matemáticas]

Ignoremos las soluciones complejas, entonces [math] s = 3 [/ math] o [math] s = \ sqrt [3] {3/4} [/ math]

Caso [matemática] s = 3 [/ matemática]: [matemática] p = \ dfrac {s ^ 3 – 9} {3s} = (3 ^ 3-9) / (3 (3)) = 2 [/ matemática]

Para encontrar [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] busquemos [matemáticas] y [/ matemáticas] donde [matemáticas] 0 = (ya) (yb) = y ^ 2– (a + b ) y + ab = y ^ 2 – sy + p = y ^ 2 – 3y + 2 = (y – 1) (y-2) [/ matemática]

Entonces, [matemática] a = 1 [/ matemática] y [matemática] b = 2 [/ matemática] o [matemática] a = 2 [/ matemática] y [matemática] b = 1 [/ matemática]. [matemáticas] x = 12-a ^ 3 = b ^ 3 + 3. [/matemáticas]

Caso [matemáticas] (a, b) = (1,2) [/ matemáticas]. [matemática] x = 12–1 = 8 + 3 = 11. [/ matemática] Verifique: [matemática] a = \ sqrt [3] {12–11} = 1 \ \ marca de verificación. b = \ sqrt [3] {11–3} = 2 \ \ marca de verificación [/ math]

Caso [matemáticas] (a, b) = (2,1) [/ matemáticas]. [matemática] x = 12–2 ^ 3 = 1 + 3 = 4. [/ matemática] Verifique: [matemática] a = \ sqrt [3] {12–4} = 2 \ \ marca de verificación. b = \ sqrt [3] {4–3} = 1 \ \ marca de verificación [/ math]

OK, ahora nos ponemos más desordenados

Caso [matemática] s = \ sqrt [3] {3/4} [/ matemática]: [matemática] p = \ dfrac {s ^ 3 – 9} {3s} = – \ frac {11} {12} 6 ^ {2/3} [/ matemáticas]

Ahora para obtener [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] tenemos que resolver

[matemáticas] y ^ 2 – sy + p = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a, b = \ dfrac {3 \ pm \ sqrt {141}} {2 \ cdot 6 ^ {2/3}} [/ matemáticas]

Afortunadamente o desafortunadamente [matemática] 12-a ^ 3 \ ne b ^ 3 + 3. [/ matemática] Son negativos entre sí, por lo que esta es una raíz extraña introducida por las ecuaciones al cuadrado.

Answer 2

[matemáticas] \ dfrac {(\ sqrt [3] {(12-x) ^ 2} + \ sqrt [3] {(12-x) * (x-3)} + \ sqrt [3] {(x- 3) ^ 2}) ^ 2} {\ sqrt [3] {(12-x)} + \ sqrt [3] {(x-3)}} = \ dfrac {49} {3} [/ matemáticas]

Deje a = [matemáticas] \ sqrt [3] {12-x} y b = \ sqrt [3] {x-3} [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] a ^ 3 = 12-x [/ matemáticas] y [matemáticas] b ^ 3 = x-3 [/ matemáticas] y [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = 9 [/ matemáticas]

Esto lleva a

[matemáticas] \ dfrac {(a ^ 2 + ab + b ^ 2) ^ 2} {a + b} = \ dfrac {49} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 \ izquierda \ {(a ^ 2-ab + b ^ 2) + 2ab \ derecha \} ^ 2 = 49 * (a + b) [/ matemáticas]

Multiplicar tanto el numerador como el denominador por [matemáticas] (a + b) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] 3 \ left \ {(a ^ 3 + b ^ 3) + 2ab (a + b) \ right \} ^ 2 = 49 * (a + b) ^ 3 [/ math]

[matemáticas] 3 \ left \ {9 + 2ab (a + b) \ right \} ^ 2 = 49 * \ left \ {a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) \ right \} [/ math ]

[matemáticas] 3 (81 + 108ab (a + b) + 4a ^ 2b ^ 2 (a + b) ^ 2 = 49 \ left \ {9 + 3ab (a + b) \ right \} [/ math]

[matemática] \ implica 4a ^ 2b ^ 2 (a + b) ^ 2–13 ab (a + b) -66 = 0 [/ matemática]

Resolviendo

[matemáticas] ab (a + b) = 6 o \ dfrac {-11} 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 9 + 3ab (a + b) ……… (1) [/ matemáticas]

Caso I

[matemáticas] ab (a + b) = 6 …… .. (2) [/ matemáticas]

De [matemáticas] (1) [/ matemáticas], [matemáticas] (a + b) ^ 3 = 9 + 18 = 27; a + b = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = \ dfrac 6 3 = 2 …… .. (3) [/ matemáticas]

[matemáticas] (ab) ^ 2 = (a + b) ^ 2–4ab = 9–8 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = \ pm 1 ………………. (4) [/ matemáticas]

De [matemáticas] (2) [/ matemáticas] y ([matemáticas] 4) [/ matemáticas] [matemáticas] a = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 2 [/ matemáticas]

Como [matemáticas] a ^ 3 = 12-x [/ matemáticas], [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas] o [matemáticas] 11 [/ matemáticas]

Caso II

[matemáticas] a + b = \ dfrac {-11} 4 ……… (5) [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) ^ 3 = 9- \ dfrac {11} 4 = \ dfrac 3 4; a + b = 0.90856 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = \ dfrac {-11} {4 * 0.90856} …… .. (6) [/ matemáticas]

[matemáticas] (ab) ^ 2 = (a + b) ^ 2–4ab = 0.90856 ^ 2–4 * \ dfrac {-11} {4 * 0.90856} = 12.93255 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = \ pm 3.596185 ………………. (4) [/ matemáticas]

De [matemáticas] (2) [/ matemáticas] y [matemáticas] (4) [/ matemáticas], [matemáticas] a = 2.252373 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = -1.34381 [/ matemáticas] o viceversa

[matemáticas] x = 0.5733 [/ matemáticas] o [matemáticas] 14.4267 [/ matemáticas]

Entonces, el conjunto de soluciones es [math] \ {4,11,0.5733,14.4267 \} [/ math]

Answer 3

Solo a partir de una observación cuidadosa podrás predecir la respuesta.

Para no considerar solo la ecuación en el denominador. El valor de x debe existir en el rango 3

Entonces, ¿qué valor del rango anterior puede sustituir para obtener 3 dado que debe tomar la raíz cúbica después? Después de algunas especulaciones, espero que salga con 4.

Entonces el denominador te dará 2 + 1 = 3 y el numerador te dará (4 + 2 + 1) el cuadrado sale a 49.

Espero que esto ayude.

Answer 4

Solución a tu problema. La respuesta es x es 4 u 11. Cuando vea RHS, verá claramente un numerador cuadrado y en LHS la misma variable de raíz cúbica. El truco es no dejarse llevar por la expresión complicada. Espero que esto ayude.

Editar: Esta es solo una de las soluciones suponiendo que ambos lados de las ecuaciones están en la forma más simple como se señaló.

Edición 2: lo resolví para todas las demás posibilidades y todas las demás soluciones son imaginarias.

Answer 5

Mirando el RHS, podemos decir que los términos debajo de la raíz tienen que ser enteros y no pueden ser valores decimales.

Entonces, siguiendo esa lógica …

(12-x) ^ (1/3) así como (12-x) ^ (2/3) tienen que ser enteros, lo que solo es posible para 12-x = 8 o 1

Entonces, tenemos x = 4 u 11, que también satisface la condición entera para (x-3) ^ (1/3) y (x-3) ^ (2/3)

Espero que esto ayude … Es solo una suposición, pero no he intentado el cálculo de longitud completa