Cómo resolver [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to e} \ frac {\ ln x-1} {| xe |} [/ math]

[matemáticas] \ lim_ {x \ to e} \ dfrac {(lnx – 1)} {| x – e |} [/ matemáticas]

Considerando dos casos …

1. [matemáticas] \ lim_ {x \ to e +} [/ matemáticas]
Obtenemos [matemáticas] | xe | = xe [/ math] como [math] x> e [/ math] …

[math] = \ lim_ {x \ to e +} \ dfrac {(lnx – 1)} {x – e} [/ math]

Aplicando la regla de L’Hospital,

[math] = \ lim_ {x \ to e +} \ dfrac {\ left (\ frac {1} {x} \ right)} {1} [/ math]

[matemática] = \ left (\ dfrac {1} {e} \ right) [/ math]

2. [matemáticas] \ lim_ {x \ to e-} [/ matemáticas]
Obtenemos [matemáticas] | xe | = ex [/ matemáticas] como [matemáticas] x <e [/ matemáticas] …

[math] = \ lim_ {x \ to e-} \ dfrac {(lnx – 1)} {e – x} [/ math]

Aplicando la regla de L’Hospital,

[math] = \ lim_ {x \ to e-} \ dfrac {\ left (\ frac {1} {x} \ right)} {- 1} [/ math]

[math] = \ left (\ dfrac {-1} {e} \ right) [/ math]

Aquí, LHL ≠ RHL … Por lo tanto, el límite no existe …

Gracias..

Trataré primero con la expresión central.

Tenemos la fracción [matemática] \ dfrac {\ ln x – 1} {| x – e |} [/ matemática]

= [matemáticas] \ dfrac {\ ln x – \ ln e} {| x – e |} [/ matemáticas] [Dado que [matemáticas] \ ln e = 1 [/ matemáticas]]

= [matemáticas] \ dfrac {\ ln \ frac {x} {e}} {| x – e |} [/ matemáticas] [Dado que [matemáticas] \ ln a – \ ln b = \ ln \ frac {a} { b} [/ matemáticas]] ———- (1)

Ahora, ponga x = e + h, donde [matemáticas] h \ a 0 [/ matemáticas].

Poniendo la sustitución anterior en (1), tenemos

[matemáticas] \ dfrac {\ ln \ frac {e + h} {e}} {| h |} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ dfrac {\ ln (1 + \ frac {h} {e})} {| h |} [/ matemáticas] ————————— (2)

Ahora, usaremos el resultado estándar que [math] \ lim_h \ to 0 \ dfrac {\ ln (1 + h)} {h} = 1 [/ math]

Entonces, (2) puede reescribirse como [matemáticas] \ dfrac {\ ln (1 + \ frac {h} {e})} {\ frac {h} {e}}. \ Frac {\ frac {h} { e}} {| h |} [/ matemáticas]

Ahora, el primer término en el producto se evalúa como 1, es decir, [math] \ dfrac {\ ln (1 + \ frac {h} {e})} {\ frac {h} {e}} [/ math] es un límite que se evalúa a 1.

El siguiente término, es decir, [math] \ frac {\ frac {h} {e}} {| h |} [/ math] se evalúa como [math] \ dfrac {1} {e} [/ math] para h positivo y – [matemáticas] \ dfrac {1} {e} [/ matemáticas] para h negativo. [Dado que [math] \ frac {h} {| h |} = 1 [/ math] para h positivo y [math] \ frac {h} {| h |} = -1 [/ math] para h negativo]

Entonces, el límite de la mano derecha es [matemática] \ frac {1} {e} [/ matemática] y el límite de la izquierda es – [matemática] \ frac {1} {e} [/ matemática].

Como los límites de la mano derecha y la mano izquierda son diferentes, el límite no existe.