Cómo resolver para [matemáticas] x [/ matemáticas]: [matemáticas] 2 ^ x = 3x + 2 [/ matemáticas]

Answer 1

utilizando el método de punto fijo

colocamos la ecuación como x = g (x) y luego si g (x) tiene un punto fijo único, la serie

Xn + 1 = g (Xn) convergerá a la respuesta correcta

tomar el logaritmo natural para ambos lados ceder

x = ln (3x + 2) / ln2 …………………………… (1)

o puede encontrar otra forma: x = (2 ^ x-2) / 3 ………………………… .. (2)

ahora para saber exactamente dónde está la raíz, puede encontrarla gráfica o analíticamente al verificar el comportamiento de la función f (x) = 2 ^ x -3x-2

En los números de conector de -4 a 4, por ejemplo, encontrará que la función cambiará de positivo a negativo o viceversa entre -1,0 y 3,4, es decir, x tiene 2 valores

alternativamente graficar las dos funciones y ver dónde ocurre la intersección

para encontrar la raíz positiva:

como ln no puede tomar valores negativos, la primera forma no puede encontrar la raíz negativa

usando la primera forma

deje X0 = 3 entonces g (X0) = 3.459

repita el proceso el rendimiento la solución será aproximadamente 3.716

verifique la ecuación original sustituyendo este valor en ambos lados en RHS -LHS dará una respuesta aproximadamente 0, lo que indica que hay un porcentaje de error (puede calcularlo)

para encontrar la raíz negativa:

use la segunda forma para g (x) y sustituya por X0 por -1 y luego g (-1) = -. 5

g (-. 5) = -. 43096

rendimiento repetido x = -. 417 que corrige a 3 puntos decimales

Answer 2

Una forma muy simple de resolver este problema es resolver primero Zero,

entonces tienes 0 = 2 ^ x-3x-2

luego puede usar el lado izquierdo de la ecuación como una función y encontrar dónde esa función interseca 0.

Utilicé geogebra para graficar y aproximar la respuesta, puede ver que hay dos puntos de intersección en x = -. 42 yx = 3.72.

Answer 3

Aquí está la solución derivada a un problema relacionado que usa la función Lambert W, [math] W ({} \ cdot {}) [/ math], que es el inverso de [math] xe ^ x [/ math] (pero tenga cuidado ya que lo inverso podría no existir en los reales o podría tener un doble valor):

[matemáticas] e ^ {ax + b} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {b} = xe ^ {- hacha} [/ matemáticas]

[matemáticas] -ae ^ b = -hacha ^ {- hacha} [/ matemáticas]

[matemáticas] W (-ae ^ b) = – hacha [/ matemáticas]

[matemáticas] x = – \ frac {W (-ae ^ b)} {a} [/ matemáticas]

Bastante bien, ¿verdad?

Entonces, ¿cómo podemos usar este resultado para resolver su problema?

Primero, deje que [math] y = 3x + 2 [/ math]. Entonces [matemáticas] x = \ frac y3- \ frac 23 [/ matemáticas]. Entonces escribimos su ecuación como:

[matemáticas] 2 ^ {\ frac y3- \ frac 23} = y [/ matemáticas]

Luego escribimos:

[matemáticas] e ^ {\ frac {y \ ln 2} 3 – \ frac {2 \ ln 2} 3} = y [/ matemáticas]

Entonces, con [math] a = \ frac {\ ln 2} 3 [/ math] y [math] b = – \ frac {2 \ ln 2} 3 [/ math], tenemos exactamente la solución para [math] y [/ math] del resultado que acabamos de derivar.

[matemáticas] y = – \ frac {W \ left (- \ frac {\ ln 2} 3 \ exp {\ left (- \ frac {2 \ ln 2} 3 \ right)} \ right)} {\ frac { \ ln 2} 3} [/ matemáticas]

Luego, finalmente, “deshacemos” la sustitución para encontrar [math] x [/ math].

[matemáticas] x = – \ frac {W \ left (- \ frac {\ ln 2} 3 \ exp {\ left (- \ frac {2 \ ln 2} 3 \ right)} \ right)} {\ ln 2 } – \ frac 23 [/ matemáticas]

Podemos limpiarlo un poco.

[matemáticas] x = – \ frac {W \ left (- \ frac {\ ln 2} {3 \ sqrt [3] 4} \ right)} {\ ln 2} – \ frac 23 [/ math]

Existen dos valores reales para el Lambert W para este argumento, y sus resultados decimales aproximados son:

[matemáticas] x = -0.417007873432848 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 3.717149949436549 [/ matemáticas]

Answer 4

Como se trata de una tarea, dependerá de cuál sea el tema del curso. Si ese es un análisis numérico, entonces podría usar el método o biyección de Newton. Pero si necesita hacerlo de forma algebraica, entonces puede usar la función Lambert W.

Esto es lo que obtienes cuando haces eso con el módulo de álgebra simbólica de Python conocido como sympy, más un gráfico de la ecuación. Esa expresión inmediatamente después del comando resolver es una expresión exacta para las dos raíces. La función Lambert W tiene dos ramas, razón por la cual existe ese -1 adicional en la segunda llamada, para obtener el otro valor en la segunda rama.

>>> de Sympy Import *
>>> var (‘x’)
X
>>> resolver (2 ** x- (3 * x + 2))
[- (LambertW (-log (2 ** (2 ** (1/3) / 6))) + log (4) / 3) / log (2)]
>>> N (- (LambertW (-log (2 ** (2 ** (1/3) / 6))) + log (4) / 3) / log (2))
-0.417007873432848
>>> N (- (LambertW (-log (2 ** (2 ** (1/3) / 6)), – 1) + log (4) / 3) / log (2))
3.71714994943655

Answer 5

Si traza 2 ^ x y 3x + 2 en el plano XY, y ve dónde se cruzan estas curvas / líneas, obtendrá las soluciones para x. Es fácil ver que las dos soluciones se encuentran en el rango (-1,0) y (3,4).

Puede resolver esto fácilmente mediante análisis numérico (análisis numérico).

Función PS Cool de Google: pon “2 ^ x y 3 * x +2” en el cuadro de búsqueda y Google trazará los gráficos por ti.

Answer 6

Las ecuaciones que involucran la misma variable como exponente y base (es decir, a ^ x y x ^ b en la misma ecuación, en este caso con a = 2 y b = 1) generalmente solo pueden resolverse numéricamente. Esto es lo que significa que algo como e ^ x sea una función “trascendental”. Se puede estimar probando valores enteros para x, lo que muestra que para x = 0,1,2,3 el lado derecho es mayor. Para cualquier entero negativo, el lado derecho es negativo, pero el lado izquierdo nunca puede ser negativo para ninguna x, por lo tanto, no hay soluciones menores que -1. Además, para x = 4, el lado izquierdo es mayor, y dado que crece más rápido, es mayor para todos x> = 4. Por lo tanto, hay una solución -1

Answer 7

2 ^ x = 3x + 2 no tiene solución analítica. Un gráfico esbozado muestra soluciones (para x real) cerca de -.4 y 3.6. Escriba la ecuación como f (x) = 2 ^ x-3x-2 = 0 y use el método de Newton para obtener una solución mejorada b de una solución aproximada a de la siguiente manera

b = a – f (a) / f ‘(a)

Answer 8

Respuesta x = 3.71715