Si [math] f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] es diferenciable en todas partes, ¿para qué condiciones sería [math] | f (x) | [/ math] también diferenciable?

Answer 1

• [matemáticas] | f (x) | [/ matemáticas] es diferenciable en todos los puntos donde [matemáticas] | f (x) |> 0 [/ matemáticas].
• Si [math] f (x_o) = 0 [/ math] para algunos [math] x_o [/ math], entonces [math] | f (x) | [/ math] es diferenciable en [math] x_o [/ math] iff [matemática] f ‘(x_o) = 0 [/ matemática].

Prueba:

Caso 1: [matemáticas] | f (x) |> 0 [/ matemáticas]

f es diferenciable. Entonces, f es continuo.

i) Debido a la continuidad, si [matemática] f (x)> 0, \ existe [/ matemática] a [matemática] \ delta> 0 [/ matemática] tal que [matemática] f (x + h)> 0 [/ math] [math] \ forall h \ in (- \ delta, \ delta) [/ math].

[matemáticas] \ implica \ lim_ {h \ to0} \ dfrac {| f (x + h) | – | f (x) |} {h} = \ lim_ {h \ to0} \ dfrac {f (x + h ) -f (x)} {h} = f ‘(x) [/ math]

Entonces, la derivada de | [matemática] f (x) | [/ matemática] existe en [matemática] x [/ matemática] si [matemática] f (x)> 0 [/ matemática].

ii) De manera similar, si [matemática] f (x) 0 [/ matemática] tal que [matemática] f (x + h) <0 [/ matemática] [math] \ forall h \ in (- \ delta, \ delta) [/ math].

[matemáticas] \ implica \ lim_ {h \ to0} \ dfrac {| f (x + h) | – | f (x) |} {h} = \ lim_ {h \ to0} \ dfrac {-f (x + h) – (- f (x))} {h} = – f ‘(x) [/ math]

Entonces, la derivada de | [matemática] f (x) | [/ matemática] existe en [matemática] x [/ matemática] si [matemática] f (x) <0 [/ matemática].

Por lo tanto, podemos concluir que [math] | f (x) | [/ math] es diferenciable en todos los puntos donde [math] | f (x) |> 0 [/ math].

Caso 2: [matemáticas] f (x_o) = 0 [/ matemáticas]

f es diferenciable. Entonces,

[matemáticas] f ‘(x_o) = \ lim_ {h \ to0} \ dfrac {f (x_o + h) -f (x_o)} {h} = \ lim_ {h \ to0} \ dfrac {f (x_o + h )} {h} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff [/ matemáticas] [matemáticas] \ lim_ {h \ to0 ^ +} \ dfrac {f (x_o + h)} {h} = f ‘(x_o) = \ lim_ {h \ to0 ^ -} \ dfrac {f (x_o + h)} {h} [/ math]

Deje [math] f ‘(x_o)> 0 [/ math]

[matemática] \ implica \ existe [/ matemática] a [matemática] \ delta> 0 [/ matemática] tal que [matemática] f (x_o + h)> 0 [/ matemática] [matemática] \ forall h \ in (0 , \ delta) [/ math] y [math] f (x_o + h) <0 [/ math] [math] \ forall h \ in (- \ delta, 0) [/ math].

Entonces, [matemáticas] RHL = \ lim_ {h \ to0 ^ +} \ dfrac {| f (x_o + h) | – | f (x_o) |} {h} = \ lim_ {h \ to0 ^ +} \ dfrac {f (x_o + h)} {h} = f ‘(x_o) [/ math]

[matemáticas] LHL = \ lim_ {h \ to0 ^ -} \ dfrac {| f (x_o + h) | – | f (x_o) |} {h} = \ lim_ {h \ to0 ^ -} \ dfrac {- f (x_o + h)} {h} = – f ‘(x_o) [/ math]

[matemáticas] LHL \ neq RHL [/ matemáticas]. Entonces, [matemática] | f (x) | [/ matemática] no es diferenciable en [matemática] x_o [/ matemática] si [matemática] f (x_0) = 0 [/ matemática] y [matemática] f ‘(x_0 )> 0 [/ matemáticas].

Del mismo modo, podemos mostrar que [matemática] | f (x) | [/ matemática] no es diferenciable en [matemática] x_o [/ matemática] si [matemática] f (x_0) = 0 [/ matemática] y [matemática] f ‘(x_0) <0 [/ matemática].

Pero si [math] f ‘(x_o) = 0 [/ math], tanto LHL como RHL son iguales a 0.

Por lo tanto, podemos concluir que si [math] f (x_0) = 0 [/ math], entonces | f (x) | es diferenciable en [matemática] x_o [/ matemática] iff [matemática] f ‘(x_o) = 0 [/ matemática].

Answer 2

Esto es posible cuando f (x) es positivo en todo su dominio. de lo contrario, se generará un punto agudo que hará que la modificación de f (x) no sea diferenciable.