“El” algoritmo de raíz cuadrada? Puedo pensar en varios algoritmos para generar aproximaciones arbitrarias de una raíz cuadrada, pero luego, he leído Métodos para calcular raíces cuadradas.
El más antiguo es el llamado “método babilónico” o “método de Heron”. Se llama así porque fue descrito por primera vez por Hero of Alexandria, a pesar de que casi con certeza estaba describiendo algo conocido en ese momento. En otras palabras, no sabemos realmente a quién se le ocurrió exactamente.
Básicamente, implica hacer una conjetura x en la raíz cuadrada de n y promediar x con [math] \ frac {n} {x} [/ math] para obtener una nueva conjetura, luego repetir hasta que se alcance el nivel de aproximación deseado. El algoritmo es correcto simplemente porque la raíz cuadrada de n se encuentra entre x y [matemáticas] \ frac {n} {x} [/ matemáticas] para todas las x . Esta invariante no garantiza que converja rápidamente, por supuesto, pero resulta que con un poco más de trabajo, podríamos demostrar que converge bastante rápido.
Parecería que los antiguos indios también descubrieron independientemente este método, o al menos parte de él, ya que crearon el “manuscrito Bakshali” que describía cómo aproximar una raíz cuadrada mediante dos iteraciones del método babilónico.
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- ¿Cómo es [matemáticas] 2 ^ {x / (x + 1)} – 2 ^ {(5x + 3) / (x + 1)} <-8 + 2 ^ {2x / (x + 1)} [/ matemáticas ]?
- Para [math] (a_ {n}) _ {n \ geq1}, a_ {n + 1} = \ frac {3a_ {n}} {2 + a_ {n}} [/ math], ¿cómo es [math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 1 [/ math]?
- ¿A cuánto equivale [matemática] \ sin ^ 2 (24 ^ {\ circ}) – \ sin ^ 2 (6 ^ {\ circ}) [/ matemática]?
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Sin embargo, mi método favorito personal le permite elegir qué tan buena aproximación desea de inmediato y puede hacerse completamente mentalmente, dando como resultado una fracción agradable:
Este es realmente un caso especial de la identidad:
[matemáticas] \ sqrt {n} = e + \ frac {ne ^ 2} {e + \ sqrt {n}} [/ matemáticas]
donde se eligió e para ser 1. De hecho, puede ver una convergencia más rápida y cálculos más simples al elegir e como el entero más grande menor que [math] \ sqrt {n} [/ math]. No sé quién fue el primero en publicar este método. Parece haber sido descubierto independientemente por muchas personas diferentes a lo largo del tiempo.
Para dar un ejemplo de su funcionamiento, encontraré la tercera fracción continua aproximada de [math] \ sqrt {7} [/ math]
Tomaré [math] e = 2 [/ math] ya que [math] 3 ^ 2> 7 [/ math] y no quiero trabajar con números negativos.
Entonces el tercer aproximado será:
[matemáticas] \ sqrt {7} \ aprox 2+ \ frac {7–4} {4+ \ frac {7–4} {4+ \ frac {7–4} {4}}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt {7} \ aprox 2+ \ frac {3} {4+ \ frac {3} {\ frac {19} {4}}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt {7} \ aprox 2+ \ frac {3} {4+ \ frac {12} {19}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt {7} \ aprox 2+ \ frac {3} {\ frac {88} {19}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt {7} \ aprox 2+ \ frac {57} {88} [/ matemáticas]
Si convierte [matemática] 2 \ frac {57} {88} [/ matemática] en decimal, obtendrá 2.647727272 …
La aproximación decimal para [math] \ sqrt {7} [/ math] comienza 2.6457, por lo que la tercera aproximación ya está desactivada en solo dos milésimas.
Editar: Da la casualidad de que esta es la segunda aproximación que obtendría con el método babilónico. La séptima aproximación que obtienes por este método es la misma que la tercera aproximación babilónica. Me pregunto si el 15º aproximado dará el cuarto aproximado de Babilonia. De cualquier manera, está claro que el método babilónico converge mucho más rápido que la fracción continua.