¿Por qué es la coordenada x del punto medio de las intersecciones x en una cuadrática es la coordenada x del vértice?

Answer 1

Asumiré que te estás refiriendo a una parábola.

La función básica de una parábola es f (x) = x ^ 2.

Como sabrán, esta es una función par, lo que significa que es simétrica a través del eje y; f (x) = f (-x). El promedio de un punto y su reflejo a través del eje y es un punto en ese eje. Además, el vértice se encuentra en el eje debido a esta propiedad … Cualquier parábola se puede asignar a otra parábola mediante cambios de escala o traducciones. Entonces, estudiemos la parábola con la ecuación f (x) = ((x -2) ^ 2) -1.

Como se indicó anteriormente, puedo asignar la primera función, que a partir de ahora llamaré a f1, a la segunda función, f2. Afortunadamente, para pasar de f1 a f2, solo es necesario utilizar las traducciones; Sin cambios de escala. Si observamos los dos gráficos anteriores, podemos ver que el vértice de f1 es (0,0) y el vértice de f2 es (2, -1). Intuitivamente, se puede ver que para pasar de f1 a f2 (sabiendo que no hay cambio de escala), el gráfico debe moverse +2 unidades en la coordenada x y -1 unidades en la coordenada y, una traducción descrita por T1 (x, y) = (x + 2, y – 1).

Entonces podemos comenzar con f1 (la función parabólica básica) y aplicar T1 para llegar a f2:

f (x) = x ^ 2 -> T1 (x, y,) = (x + 2, y-1) -> f (x-2) -1 -> f (x) = (x-2) ^ 2 – 1

Hacemos lo contrario de las traducciones a x e y porque queremos que el nuevo valor en x + 2 sea como el valor en x antes de la traducción, por lo que se resta 2. Del mismo modo con la y, pero acabo de traer el +1 desde el lado izquierdo de la ecuación al lado derecho.

Bien, ahora tenemos f2 de manipular f1. Las dos gráficas tienen una forma similar, pero el hecho de que f (x) = f (-x) ya no es cierto; esta característica se perdió en la traducción. Sin embargo, podemos aplicar la misma traducción a la declaración para que f2 pueda ser descrita por esa declaración (sin tener en cuenta el componente y porque la uniformidad de una función solo se basa en el componente x. El nuevo eje está en x = 2, en lugar de y = 0, y de manera similar a la función básica, un punto y su imagen a través del eje promediado es un punto que se encuentra en ese eje. Y nuevamente, el vértice se encuentra en este eje. Entonces, si obtienes la primera coordenada de un punto en ese eje, conoces la primera coordenada del vértice.

Answer 2

Veamos. Primero, es un hecho que cualquier función cuadrática de la forma [matemática] ax ^ 2 + bx + c [/ matemática] puede factorizarse como [matemática] a (xh) ^ 2 + k [/ matemática] completando el cuadrado , donde encontramos que [math] h [/ math] – la coordenada x del vértice – es en realidad igual a [math] \ dfrac {-b} {2a} [/ math].

Ahora, una función cuadrática puede tener como máximo 2 intercepciones [matemáticas] x [/ matemáticas] (también conocidas como raíces ). En el caso donde el discriminante ([matemática] \ displaystyle \ Delta \ stackrel {df} {=} b ^ 2 – 4ac) [/ matemática] es negativo , no hay raíz. Y en el caso donde [math] \ Delta [/ math] es exactamente [math] 0 [/ math], la fórmula cuadrática:

\ begin {align} x & = \ frac {-b \ pm \ sqrt {\ Delta}} {2a} \ end {align}

muestra que la única raíz ocurre cuando [math] \ displaystyle x = \ frac {-b} {2a}, [/ math] que precisamente la coordenada x del vértice como debería ser, ya que es cuando la parábola toca el eje x en exactamente un punto.

En cuanto al caso donde [math] \ Delta [/ math] es positivo (es decir, el caso que buscamos), tenga en cuenta que la fórmula cuadrática nuevamente nos dice que hay dos raíces [math] r_1 [/ math] y [math ] r_2 [/ math], donde:

\ begin {align} r_1 = \ frac {-b} {2a} + \ frac {\ sqrt {\ Delta}} {2a} \ qquad r_2 = \ frac {-b} {2a} – \ frac {\ sqrt { \ Delta}} {2a} \ end {align}

de modo que si tomamos su punto medio, obtenemos que:

\ begin {align} \ frac {r_1 + r_2} {2} & = \ frac {2 \ cdot \ frac {-b} {2a}} {2} \\ & = \ frac {-b} {2a} \ fin {alinear}

que, de nuevo, muestra que el punto medio es precisamente la coordenada x del vértice. En cierto sentido, esto no es demasiado sorprendente, ya que una parábola definida por un trinomio cuadrático es simétrica con respecto a la línea del vértice, y esto significa que el vértice siempre se puede encontrar en el “centro” de cualquiera de los dos puntos de la parábola, que comparten La misma altura.

Todo bien. Buen lugar para terminar. Para obtener más detalles sobre la teoría detrás de las funciones cuadráticas, este módulo sobre Factorización Cuadrática puede ayudar.