¿Qué es [matemáticas] \ cos ^ 2 22.5 ^ \ circ – \ sin ^ 2 22.5 ^ \ circ [/ matemáticas]?

Answer 1

En primer lugar, esta es solo una fórmula de doble ángulo, explicó Dean Rubine en una línea.

Alternativamente,

Usando el método Reescrito Preciso (ver Rompiendo Reglas Clásicas en Trigonometría: Valores Trigonométricos Exactos por Bhava Nath Dahal en el método Reescrito Preciso para el proceso) o Método Reescrito en Ángulo en Cos 22.5 = Sin 67.5 y Sin 22.5.

Paso 1: reescribe el ángulo agregando la mitad o restando la mitad de Central (es decir, 45)

22.5 = 45–22.5 y 67.5 = 45 + 22.5 [ambos tienen dos centrales]

Paso 2: Reemplace cada Central por √ [matemáticas] (2 [/ matemáticas]

Sin 22.5 = [matemáticas] \ frac {1} {2} \ sqrt {2 – \ sqrt {2}} [/ matemáticas]

[matemática] \ sin ^ {2} 22.5 [/ matemática] = [matemática] \ frac {1} {4} [/ matemática] (2 – [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática])

Cos 22.5 = Sin 67.5 = [matemáticas] \ frac {1} {2} \ sqrt {2 + \ sqrt {2}} [/ matemáticas]

[matemática] \ cos ^ {2} 22.5 [/ matemática] = [matemática] \ frac {1} {4} [/ matemática] (2 + [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática])

Por lo tanto, [matemáticas] \ cos ^ {2} 22.5 [/ matemáticas] – [matemáticas] \ sin ^ {2} 22.5 [/ matemáticas] = [matemáticas] \ frac {1} {4} [/ matemáticas] (2 + [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática]) – [matemática] \ frac {1} {4} [/ matemática] (2 – [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática])

= [matemáticas] \ frac {1} {4} [/ matemáticas] (2 [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas])

= [matemáticas] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] x = \ cos ^ 2 22.5 ^ \ circ – \ sin ^ 2 22.5 ^ \ circ [/ matemáticas]

Respuesta de una línea: la fórmula de doble ángulo para coseno es [matemáticas] \ cos 2 \ theta = \ cos ^ 2 \ theta- \ sin ^ 2 \ theta [/ matemáticas], así que aquí [matemáticas] \ theta = 22.5 ^ \ circ [/ math] y [math] x = \ cos 45 ^ \ circ = \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ math].

---

Respuesta completa: No se espera que nadie conozca fórmulas de doble ángulo o cuál es el coseno y el seno de [matemáticas] 22.5 ^ \ circ [/ matemáticas], pero se espera que noten que [matemáticas] 22.5 ^ \ circ [/ matemáticas] es la mitad de [matemáticas] 45 ^ \ circ [/ matemáticas], y sabe que tanto el seno como el coseno de [matemáticas] 45 ^ \ circ [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ matemáticas].

Esto tiene algo que ver con las fórmulas de medio ángulo o doble ángulo. Podrías buscarlos. Pero es mejor saber cómo derivar las fórmulas de doble ángulo, y de la fórmula de doble ángulo para coseno, las fórmulas de medio ángulo. Es fácil con la ecuación de Euler, [matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ matemáticas].

[matemáticas] \ cos 2 \ theta + i \ sin 2 \ theta = e ^ {i (2 \ theta)} = (e ^ {i \ theta}) ^ 2 = (\ cos \ theta + i \ sin \ theta ) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ cos ^ 2 \ theta + 2i \ cos \ theta \ sin \ theta + i ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ cos ^ 2 \ theta – \ sin ^ 2 \ theta + i (2 \ cos \ theta \ sin \ theta) [/ matemáticas]

Al equiparar partes imaginarias obtenemos [matemáticas] \ sin 2 \ theta = 2 \ cos \ theta \ sin \ theta [/ matemáticas]. No necesitamos eso para este problema.

Igualando partes reales, vemos

[matemáticas] \ cos 2 \ theta = \ cos ^ 2 \ theta- \ sin ^ 2 \ theta [/ matemáticas]

Eso coincide con la forma de la pregunta, con [math] \ theta = 22.5 ^ \ circ [/ math], entonces [math] x = \ cos 45 ^ \ circ = \ frac {\ sqrt {2}} {2} [ /matemáticas].

Digamos que no me di cuenta de la coincidencia y quería que las fórmulas de medio ángulo solo calculen [matemáticas] \ cos 22.5 ^ \ circ [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sen 22.5 ^ \ circ [/ matemáticas]. Puede buscarlos, o puede usar [matemáticas] \ cos ^ 2 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta = 1 [/ matemáticas] para escribir la fórmula del doble ángulo del coseno de dos maneras:

[matemáticas] \ cos 2 \ theta = \ cos ^ 2 \ theta- \ sin ^ 2 \ theta = \ cos ^ 2 \ theta- (1- \ cos ^ 2 \ theta) = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1 [/matemáticas]

[matemáticas] \ cos ^ 2 \ theta = \ frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2} [/ matemáticas]

Eso es realmente todo lo que necesitamos para el coseno, pero el siguiente paso da la fórmula de medio ángulo del coseno:

[matemáticas] \ cos \ theta = \ pm \ sqrt {\ frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2}} [/ matemáticas]

La otra forma de escribir la fórmula de doble ángulo es

[matemáticas] \ cos 2 \ theta = \ cos ^ 2 \ theta- \ sin ^ 2 \ theta = (1- \ sin ^ 2 \ theta) – \ sin ^ 2 \ theta = 1-2 \ sin ^ 2 \ theta [/matemáticas]

[matemáticas] \ sin ^ 2 \ theta = \ frac {1 – \ cos 2 \ theta} {2} [/ matemáticas]

Nuevamente, no necesitamos ir más lejos, pero para completar, la fórmula del medio ángulo seno es:

[matemáticas] \ sin \ theta = \ pm \ sqrt {\ frac {1 – \ cos 2 \ theta} {2}} [/ matemáticas]

Podríamos insertar los números para [math] \ cos ^ 2 [/ math] y [math] \ sin ^ 2 [/ math] arriba, restar y obtener la respuesta. Pero siempre prefiero el álgebra a la aritmética, así que hagámoslo simbólicamente primero:

[matemáticas] x = \ cos ^ 2 \ theta – \ sin ^ 2 \ theta = \ frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2} – \ frac {1- \ cos 2 \ theta} {2} = \ frac {2 \ cos 2 \ theta} {2} = \ cos 2 \ theta [/ math]

Bueno, recuperamos la ecuación con la que comenzamos. Sin buscar nada y sin darnos cuenta (hasta ahora) esta es la forma del coseno de doble ángulo, tenemos [matemáticas] \ theta = 22.5 ^ \ circ [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ cos 45 ^ \ circ = \ frac {\ sqrt {2}} {2}. [/ math]

Answer 3

Usando [math] \ sin ^ 2 = 1- \ cos ^ 2 [/ math]

Obtenemos [matemáticas] \ cos ^ 2- \ sin ^ 2 = 2 \ cos ^ 2-1 [/ matemáticas]

Usando [matemática] \ cos ^ 2 (x) = 1/2 + 1/2 \ cos (2x) [/ matemática]

Obtenemos [matemáticas] 2 \ cos ^ 2 (x) -1 = \ cos (2x) [/ matemáticas]

Por lo tanto, la respuesta es

[matemáticas] \ cos (2 \ veces22.5 °) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Answer 4

Aquí está

Answer 5

Hay una identidad trigonométrica:
cos ^ 2A – sin ^ 2A = cos2A.

¡Solo pon A = 22.5 ° y obtendrás la respuesta!