¿Cómo se podría representar gráficamente [matemáticas] f (x) = x ^ 3 – 8x ^ 2 + 16x – 3 [/ matemáticas]?

Siga los puntos a continuación para dibujar la curva.

  1. Encuentre el dominio de la función, ya que es un polinomio definido en todas partes en la línea real.
  2. Encuentre las intersecciones x e y y trace los puntos en el eje xy.
  3. Encuentre los puntos críticos y los puntos de inflexión estableciendo la primera derivada y la segunda derivada iguales a cero y resuelva las ecuaciones.
  4. Primero, divida el dominio que es la línea real en intervalos basados ​​en puntos de inflexión.
  5. Tome un punto de muestra en los intervalos y evalúe la segunda derivada en los puntos. Si es positivo, la gráfica de la función se parece a una gráfica cóncava. Negativo, es cóncavo hacia abajo. Mantenga el punto en su mente. Ahora, ve al siguiente punto.
  6. Divida el dominio en intervalos basados ​​en puntos críticos e intersecciones x. Tome un punto de muestra en un intervalo y evalúe el valor de la primera derivada en el punto. Si la derivada es positiva, la gráfica de la función aumenta en el intervalo. Si es negativo, la gráfica de la función está disminuyendo.
  7. Ahora, dibuje el comportamiento de la función en cada intervalo que escupió y combine todos. Obtendrá el gráfico de la función requerida.

Espero que esto te ayude 🙂

(1) La función polinómica no tiene asíntotas horizontales y verticales.

(2) No siempre es fácil encontrar el valor exacto para la intersección x. La forma más sencilla de pasarlo por Wolframalpha. En este caso, puede usar el teorema de la raíz racional y encontrar f (3) = 0

Las x intersecciones son

(3) La intersección y es (0, -3)

(4) Resolver puntos de inflexión

(5) Clasifique el punto de inflexión y encuentre el punto de inflexión por segunda derivada

El punto de inflexión está en P, tenga en cuenta que la curva cambia de un gancho a una marca en P, esta es la forma visual de detectar un punto de inflexión.

Ecuación original: f (x) = x ^ 3 – 8x ^ 2 + 16x – 3

Usando la división sintética (usando 3 como un cero potencial), desplegando el uno, multiplicando cada número superior por 3 y sumando, obtenemos f (3) como 0

3 (1-8 16-3)

1 -5 1 0 Entonces uno de los ceros es 3.

La ecuación resultante es x ^ 2-5x + 1, y usando la ecuación cuadrática, los dos ceros restantes son ( 5 + – sqrt (21)) / 2

La intersección en y, cuando se conecta f (o) es -3 (0, -3) es la intersección en y

Asíntota horizontal y asíntota vertical: como esta no es una función racional, con términos polinomiales en un numerador y denominador, no hay asíntotas verticales y horizontales, por lo que el dominio es (-∞, ∞)

Puntos críticos (tome la derivada y establezca igual a cero):

Ecuación original: f (x) = x ^ 3 – 8x ^ 2 + 16x – 3

Derivada: f ‘(x) = 3x ^ 2 – 16x + 16

Factorizado y establecido igual a 0: (3x-4) (x-4) = 0, donde x = 4 yx = 4/3

Encontrar intervalos en los que f (x) aumenta y disminuye:

Tenemos los ceros de x = 4 yx = 4/3, por lo que lo incluiremos en el intervalo de prueba

Intervalos de prueba: (-∞, 4/3) (4/3, 4) (4, ∞)

Puntos de prueba:

f (-2) = (-2) ^ 3 – 8 (-2) ^ 2 + 16 (-2) -3 = -75 f (-1) = (-1) ^ 3 – 8 (-1) ^ 2 + 16 (-1) – 3 = -30, entonces f (x) está aumentando en I (-∞, 4/3)

f (4/3) = (4/3) ^ 3 – 8 (4/3) ^ 2 + 16 (4/3) – 3 = 6.48

f (4) = (4) ^ 3 – 8 (4) ^ 2 +16 (4) – 3 = -3 <- f (x) está disminuyendo en I (4 / 3,4)

f (5) = (5) ^ 3 – 8 (5) ^ 2 + 16 (5) – 3 = 2, f (10) = (10) ^ 3-8 (10) ^ 2 + 16 (10) – 3 = 957 <- f (x) aumenta en I (4, ∞)

Puntos de inflexión (o Extrema):

Ecuación original: x ^ 3 – 8x ^ 2 + 16x – 3

Tome la primera derivada: f ‘(x) = 3x ^ 2 – 16x + 16

Tome la segunda derivada: f “(x) = 6x – 16

Establecer 6x-16 = 0 6x = 16 x = 8/3 <- Este es el punto donde la función cambia su dirección de su curvatura

Esperaba mi respuesta ¡Ayudado! 🙂

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Hay muchas calculadoras gráficas en línea.

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Por supuesto, la calculadora no le da todas las respuestas, y honestamente es más rápido trazar curvas generales usando las derivadas e intersecciones como guías, pero ciertamente ayuda a verificar sus ecuaciones.

Cuando se diferencia, obtiene una cuadrática con dos raíces reales o ninguna. Si hay dos, uno es máximo y otro mínimo. En el primer caso habrá una intersección x, de lo contrario podría haber hasta tres. Diferenciar nuevamente para encontrar las regiones de convexidad. Encuentre los valores al máximo y al mínimo si hay alguno.

Las intersecciones x son las raíces de f (x). Las raíces no pueden ser pares porque el término constante es impar. Si 1, 3, 5 y sus negativos no satisfacen f (x) = 0, no pierdas el tiempo buscando raíces, probablemente sean irracionales complejos o reales.

Los cúbicos no tienen asíntotas.

Ahora dibuja aproximadamente lo que sabes y deberías poder ver dónde están las podredumbres, si las hay.

Como todos sus coeficientes son enteros, podemos usar el teorema de la raíz racional para encontrar soluciones enteras. En su problema, las únicas raíces racionales posibles son 3 y -3. Si conectamos 3, encontramos que es una raíz.

Ahora sabemos que [matemáticas] x-3 [/ matemáticas] es un factor de [matemáticas] x ^ 3-8x ^ 2 + 16x-3 [/ matemáticas].

Factorizar esto da [matemáticas] x ^ 2-5x + 1 [/ matemáticas]. Esta es una función cuadrática, por lo que podemos usar la fórmula cuadrática para resolver [matemáticas] x ^ 2-5x + 1 = 0 [/ matemáticas].

La solución es [matemáticas] x = \ frac {5 \ pm \ sqrt {25-4 * 1 * 1}} {2 * 1} = \ frac {5 \ pm \ sqrt {21}} {2} [/ matemáticas ] Estas raíces son aproximadamente [matemáticas] 4.79 [/ matemáticas] y [matemáticas] 0.21 [/ matemáticas]. Así que ahora tenemos las tres raíces y eso facilitará la trama.

Tomando la derivada de [matemáticas] x ^ 3-8x ^ 2 + 16x-3 [/ matemáticas] obtenemos [matemáticas] 3x ^ 2-16x + 16 [/ matemáticas]. Al establecerlo en 0, obtenemos otra [matemática] cuadrática 3x ^ 2-16x + 16 = 0 [/ matemática].

Esto tiene en cuenta [matemática] (3x-4) (x-4) [/ matemática], por lo que los puntos críticos son [matemática] x = 4 [/ matemática] y [matemática] x = \ frac {4} {3} [/matemáticas].

Cuando [matemática] x = 4 [/ matemática] obtenemos [matemática] y = -3 [/ matemática] y cuando [matemática] x = \ frac {4} {3} [/ matemática] obtenemos [matemática] y \ aproximadamente 6.5 [/ matemáticas].

Para la concavidad, tomamos la derivada de la primera derivada, [matemática] 3x ^ 2-16x + 16 [/ matemática] y la establecemos en [matemática] 0 [/ matemática] para obtener [matemática] 6x-16 = 0 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] x = \ frac {8} {3} [/ matemáticas] es el punto de inflexión.

Al conectar esto a la ecuación original se obtiene [matemática] y \ aprox 1.74 [/ matemática].

Entonces, el gráfico es cóncavo hacia abajo hasta [matemáticas] (\ frac {8} {3}, 1.74) [/ matemáticas], y luego cóncavo hacia arriba después de eso.


Así que ahora tenemos todo lo que necesitamos para graficar esto:

Las raíces de la ecuación original son [matemática] (3,0) [/ matemática], [matemática] (4.79,0) [/ matemática] y [matemática] (0.21,0) [/ matemática].

El máximo está en [math] \ left (\ frac {4} {3}, 6.5 \ right) [/ math], y el mínimo está en [math] (4, -3) [/ math].

El gráfico es cóncavo hacia abajo hasta [matemáticas] (\ frac {8} {3}, 1.74) [/ matemáticas], y luego cóncavo hacia arriba después de eso.

Además, si conecta x = 0 obtendrá y = -3 como la intersección en y.

No hay asíntotas.