Cómo demostrar que [matemáticas] \ frac {\ cos A} {\ sin A + \ cos B} + \ frac {\ cos B} {\ sin B- \ cos A} = \ frac {\ cos A} {\ sin A- \ cos B} + \ frac {\ cos B} {\ sin B + \ cos A} [/ math]

Answer 1

[matemáticas] \ dfrac {\ cos A} {\ sin A – \ cos B} – \ dfrac {\ cos A} {\ sin A + \ cos B} = \ dfrac {2 \ cos A \ cos B} {{ \ sin} ^ 2 A – {\ cos} ^ 2 B} \ ldots (1) [/ math]

Intercambiando [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] en la ecuación. [matemáticas] (1) [/ matemáticas] da

[matemáticas] \ dfrac {\ cos B} {\ sin B – \ cos A} – \ dfrac {\ cos B} {\ sin B + \ cos A} = \ dfrac {2 \ cos B \ cos A} {{ \ sin} ^ 2 B – {\ cos} ^ 2 A} \ ldots (2) [/ math]

Dado que [matemática] {\ sin} ^ 2 A – {\ cos} ^ 2 B = {\ sin} ^ 2 B – {\ cos} ^ 2 A [/ matemática] (por transposición), de las ecuaciones [matemáticas] (1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (2) [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] \ dfrac {\ cos A} {\ sin A – \ cos B} – \ dfrac {\ cos A} {\ sin A + \ cos B} = \ dfrac {\ cos B} {\ sin B – \ cos A} – \ dfrac {\ cos B} {\ sin B + \ cos A} [/ math]. [matemáticas] [/ matemáticas]

Transponer una vez más da la identidad requerida. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Permítanme usar [matemáticas] sX [/ matemáticas] para [matemáticas] \ sin {X} [/ matemáticas] y [matemáticas] cX [/ matemáticas] para [matemáticas] \ cos {X} [/ matemáticas] para un menor desorden de notación. Ahora tenemos que demostrar que

[matemáticas] \ dfrac {cA} {sA + cB} + \ dfrac {cB} {sB-cA} = \ dfrac {cA} {sA-cB} + \ dfrac {cB} {sB + cA} [/ math] ,

que es equivalente a mostrar que

[matemáticas] \ dfrac {cA} {sA + cB} – \ dfrac {cA} {sA-cB} = \ dfrac {cB} {sB + cA} – \ dfrac {cB} {sB-cA} [/ math] .

Ahora, agregar los términos en cada lado dejaría,

[matemáticas] \ dfrac {-2cAcB} {s ^ 2A-c ^ 2B} = \ dfrac {-2cAcB} {s ^ 2B-c ^ 2A} [/ matemáticas].

Como los numeradores son iguales, solo tenemos que mostrar que los denominadores son iguales, es decir

[matemáticas] s ^ 2A-c ^ 2B = s ^ 2B-c ^ 2A [/ matemáticas],

que es equivalente a mostrar que [matemática] s ^ 2A + c ^ 2A = s ^ 2B + c ^ 2B [/ matemática].

Y sabemos que es una identidad porque ambos lados son la unidad, ya que [math] \ sin ^ 2 {\ theta} + \ cos ^ 2 {\ theta} = 1 [/ math].

Por lo tanto demostrado!

Answer 3

Sabemos, [matemática] \ sin ^ 2A + \ cos ^ 2A = 1 [/ matemática] y [matemática] \ sin ^ 2B + \ cos ^ 2B = 1 [/ matemática]

Por lo tanto, [matemáticas] \ sin ^ 2A + \ cos ^ 2A = \ sin ^ 2B + \ cos ^ 2B [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin ^ 2A- \ cos ^ 2B = \ sin ^ 2B- \ cos ^ 2A [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ sin A + \ cos B) (\ sin A- \ cos B) = (\ sin B + \ cos A) (\ sin B- \ cos A) [/ matemáticas]

Reciprocar ambos lados,

[matemáticas] \ dfrac {1} {(\ sin A + \ cos B) (\ sin A- \ cos B)} = \ dfrac {1} {(\ sin B + \ cos A) (\ sin B- \ cos A )}[/matemáticas]

Multiplica ambos lados por [matemáticas] 2 \ cos {A} \ cos {B} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {2 \ cos {A} \ cos {B}} {(\ sin A + \ cos B) (\ sin A- \ cos B)} = \ dfrac {2 \ cos {A} \ cos { B}} {(\ sin B + \ cos A) (\ sin B- \ cos A)} [/ math]

---

[matemáticas] \ cos {A} \ dfrac {2 \ cos {B}} {(\ sin A + \ cos B) (\ sin A- \ cos B)} = \ cos {B} \ dfrac {2 \ cos { A}} {(\ sin B + \ cos A) (\ sin B- \ cos A)} [/ math]

[matemáticas] \ cos {A} \ dfrac {(\ sin A + \ cos B) – (\ sin A- \ cos B)} {(\ sin A + \ cos B) (\ sin A- \ cos B)} = \ cos {B} \ dfrac {(\ sin B + \ cos A) – (\ sin B- \ cos A)} {(\ sin B + \ cos A) (\ sin B- \ cos A)} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {\ cos A} {(\ sin A- \ cos B)} – \ dfrac {\ cos A} {(\ sin A + \ cos B)} = \ dfrac {\ cos B} {(\ sin A- \ cos B)} – \ dfrac {\ cos B} {(\ sin A + \ cos B)} [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ boxed {\ dfrac {\ cos A} {\ sin A + \ cos B} + \ dfrac {\ cos B} {\ sin B- \ cos A} = \ dfrac {\ cos A} {\ sin A – \ cos B} + \ dfrac {\ cos B} {\ sin B + \ cos A}} [/ math]

Answer 4

En su lugar, resolvamos la ecuación

[matemáticas] \ frac {{\ cos X}} {{\ sin X + \ cos B}} + \ frac {{\ cos B}} {{\ sin B – \ cos X}} = \ frac {{\ cos X}} {{\ sen X – \ cos B}} + \ frac {{\ cos B}} {{\ sin B + \ cos X}} [/ math].

Repare los términos como

[matemáticas] \ frac {{\ cos B}} {{\ sin B – \ cos X}} – \ frac {{\ cos B}} {{\ sin B + \ cos X}} = \ frac {{\ cos X}} {{\ sen X – \ cos B}} – \ frac {{\ cos X}} {{\ sin X + \ cos B}} [/ math].

Encontrar denominadores comunes por lado,

[matemáticas] \ frac {{2 \ cos B \ cos X}} {{{{\ sin} ^ 2} B – {{\ cos} ^ 2} X}} = \ frac {{2 \ cos X \ cos B}} {{{{\ sin} ^ 2} X – {{\ cos} ^ 2} B}} [/ matemáticas]

Multiplicación cruzada, recopilación de términos y factorización,

[matemáticas] 0 \ cos B \ cos X = 0 [/ matemáticas].

Lo cual es idénticamente 0. Dado que los términos se cancelaron solo por sustracción, la ecuación es de hecho una identidad.

Answer 5

Intenta convertir el pecado y el cos en fracciones de hipotenusa , adyacentes y lados opuestos . Luego puede combinar esas fracciones y reorganizar las ecuaciones para ver el resultado que desea.

Answer 6