Resolver para [matemáticas] z [/ matemáticas], [matemáticas] z ^ 3 = 4 \ sqrt {2} (1 − i) = w [/ matemáticas]
Este problema esencialmente pide la raíz cúbica de un número complejo [matemático] w [/ matemático] dado en coordenadas rectangulares. Sugiere que convertimos a “forma exponencial”, es decir, coordenadas polares para resolver esto.
Primero, resolvamos por inspección. [matemática] w [/ matemática], siendo un múltiplo de [matemática] 1-i, [/ matemática] es un ángulo de [matemática] -45 [/ matemática]. [matemáticas] | w | = 4 \ sqrt {2} \ sqrt {1 ^ 2 + 1 ^ 2} = 8. [/ matemáticas] Entonces [matemáticas] z = w ^ {1/3} [/ matemáticas] va ser un ángulo de grado [matemático] -15 [/ matemático] ([matemático] -15 \ pi / 180 = – \ pi / 12 [/ matemático]) de magnitud [matemático] 8 ^ {1/3} = 2. [/ math] Podemos rotar esto por [math] \ pm 120 [/ math] grados para obtener las otras dos raíces cúbicas de 2. Entonces nuestra respuesta es [math] z = 2e ^ {i (- \ pi / 12 + 2 \ pi k / 3)} [/ math] para [math] k = -1, k = 0 [/ math] y [math] k = 1 [/ math]. ([math] k [/ math] puede ser cualquier número entero pero se repiten los mismos tres valores para [math] z [/ math]).
OK, resolvamoslo directamente.
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Ya hablamos de cómo [matemáticas] w [/ matemáticas] era un ángulo de magnitud 8. [matemáticas] -45 [/ matemáticas] Tomando la sugerencia, escribimos
[matemáticas] w = 8e ^ {i (-45 (360/2 \ pi)} = 8e ^ {- i \ pi / 4} [/ matemáticas]
Ahora manejamos la posibilidad de múltiples valores. La verdadera identidad de Euler es la identidad de Euler al cuadrado: [matemática] e ^ {2 \ pi i} = 1. [/ matemática] Para el entero [matemática] k, 1 ^ k = 1 [/ matemática], entonces podemos elevar esto [matemática] k [/ matemática] potencia y obtener [matemática] e ^ {2 \ pi ki} = 1. [/ matemática] Esto nos permite obtener [matemática] k [/ matemática] en la respuesta para generar los valores múltiples .
[matemáticas] w = 8e ^ {- i \ pi / 4} e ^ {2 \ pi ki} = 8e ^ {- i \ pi / 4 + 2 \ pi ki} [/ matemáticas]
Tenemos
[matemáticas] z ^ 3 = w [/ matemáticas]
[matemáticas] z = w ^ {1/3} = (8e ^ {- i \ pi / 4} e ^ {2 \ pi ki}) ^ {1/3} [/ matemáticas]
[matemáticas] z = 2 e ^ {- i \ pi / 12 + 2 \ pi ki / 3} [/ matemáticas]
Esa es nuestra respuesta en coordenadas polares.
Podríamos resolver las soluciones en coordenadas rectangulares. Básicamente, eso implica calcular el coseno y desde [matemáticas] – \ pi / 12 [/ matemáticas] para la primera raíz. Trabajamos las funciones trigonométricas de [math] 7 \ pi / 12 [/ math] y [math] -9 \ pi / 12 [/ math] para las otras raíces.
Utilizamos las fórmulas de medio ángulo, expresadas aquí sin la raíz cuadrada desordenada y [math] \ pm [/ math].
[matemáticas] \ cos ^ 2 \ dfrac \ theta 2 = (1+ \ cos \ theta) / 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin ^ 2 \ dfrac \ theta 2 = (1- \ cos \ theta) / 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ cos ^ 2 (- \ pi / 12) = (1+ \ cos (- \ pi / 6)) / 2 = (1+ \ sqrt {3} / 2) / 2 = 1/2 + \ sqrt {3} / 4 [/ math]
[matemáticas] \ sin ^ 2 (- \ pi / 12) = (1 – \ cos (- \ pi / 6)) / 2 = 1/2 – \ sqrt {3} / 4 [/ matemáticas]
En el cuarto cuadrante, el coseno es positivo y el seno es negativo. Entonces nuestra primera solución es
[matemáticas] z_1 = 2 e ^ {- i \ pi / 12} = 2 (\ cos (- \ pi / 12) + i \ sin (- \ pi / 12)) [/ matemáticas] [matemáticas] = 2 \ sqrt {1/2 + \ sqrt {3} / 4} – i (2 \ sqrt {1/2 – \ sqrt {3} / 4}) [/ math] [math] = \ sqrt {2 + \ sqrt { 3}} – i \ sqrt {2 – \ sqrt {3}} [/ math]
Por inspección puedo ver que la magnitud es 2, bien. Puede resolver tediosamente el cubo y verificar que esta sea una solución.
Cuando [math] k = 1 [/ math] obtenemos el factor de la raíz cúbica de la unidad, [math] f = e ^ {2 \ pi i / 3} = \ frac 1 2 (-1 + i \ sqrt { 3}) [/ matemáticas]
[matemáticas] z_2 = fz_1 [/ matemáticas]
Podemos obtener la última solución girando en sentido contrario, multiplicando por el conjugado de [math] f. [/ Math]
[matemáticas] z_3 = f ^ * z_1 [/ matemáticas]
Es tedioso resolver [matemáticas] z_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] z_3 [/ matemáticas] y luego verificar que sus cubos son [matemáticas] w [/ matemáticas]. Te lo dejo a ti.